当我们应用统计方法对数据进行分析时，会发现许多分析方法如T检验、方差分析、相关分析以及线性回归等等，都要求数据服从正态分布或近似正态分布，正态分布在机器学习中的重要性后期会讲述。上一篇文章用Q-Q图来验证数据集是否符合正态分布，本文首先介绍了偏度与峰度的定义，然后用偏度与峰度检测数据集是否符合正态分布，最后分析该检测演算法的适用条件以及SPSS的结果分析。

1、偏度与峰度

（1）偏度（Skewness）

偏度衡量随机变数概率分布的不对称性，是相对于平均值不对称程度的度量，通过对偏度系数的测量，我们能够判定数据分布的不对称程度以及方向。

具体来说，对于随机变数X，我们定义偏度为其的三阶标准中心距:

gamma_{1} = E[(frac{X-mu}{delta})^3] = frac{E[(X-mu)^3]}{delta^3} = frac{E[(X-mu)^3]}{(E[(X-mu)^2])^frac{3}{2}} = frac{K_{3}}{K_{2}^frac{3}{2}}

对于样本的偏度，我们一般记为SK，我们可以基于矩估计，得到有:

SK_{1} = frac{m_{3}}{m_2^frac{3}{2}} = frac{frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_{i} - overline{x})^3 } {[frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_{i} - overline{x})^2]^frac{3}{2}}

其中, overline{x} 为样本均值， m_{3} 为样本三阶中心矩， m_{2} 为样本二阶中心矩

偏度的衡量是相对于正态分布来说，正态分布的偏度为0，即若数据分布是对称的，偏度为0。若偏度大于0，则分布右偏，即分布有一条长尾在右；若偏度小于0，则分布为左偏，即分布有一条长尾在左（如下图）；同时偏度的绝对值越大，说明分布的偏移程度越严重。

【注意】数据分布的左偏或右偏，指的是数值拖尾的方向，而不是峰的位置。

（2）峰度（Kurtosis）

峰度，是研究数据分布陡峭或者平滑的统计量，通过对峰度系数的测量，我们能够判定数据相对于正态分布而言是更陡峭还是更平缓。比如正态分布的峰度为0，均匀分布的峰度为-1.2（平缓），指数分布的峰度6（陡峭）。

峰度，定义为四阶中心距 m_{4} 除以方差 delta 的平方减3。 gamma_{2} = frac{K_{4}}{K_{2}^{2}} - 3 = frac{mu_{4}}{delta^4} - 3 = frac{frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}(x_{i}-overline{x})^4}{(frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}(x_{i}-overline{x})^2)^2} -3

若峰度 approx 0 , 分布的峰态服从正态分布；

若峰度>0,分布的峰态陡峭（高尖）；

若峰度<0,分布的峰态平缓（矮胖）；

2、正态性检验

利用变数的偏度和峰度进行正态性检验时，可以分别计算偏度和峰度的Z评分（Z-score）。

偏度Z-score = 偏度值 div 偏度值的标准差

峰度Z-score = 峰度值 div 峰度值的标准差

在 alpha=0.05 的检验水平下，偏度Z-score和峰度Z-score是否满足假设条件下所限制的变数范围（Z-score在±1.96之间），若都满足则可认为服从正态分布，若一个不满足则认为不服从正态分布。

3、正态性检验的适用条件

样本的增加会减小偏度值和峰度值的标准差，相应的Z-score会变大，最终会拒绝条件假设，会给正确判断样本数据的正态性情况造成一定的干扰。因此，当样本数据量小于100时，用偏度和峰度来判断样本的正态分布性比较合理。

4、SPSS结果分析

上图中可以看出分布的偏度值为0.194(偏度值的标准差0.181),则Z-score = 0.194 / 0.181 = 1.072；峰度值0.373（峰度值标准差0.360），则Z-score = 0.373 / 0.360 = 1.036。偏度值和峰度值均 approx 0,Z-score均在 pm 1.96之间，可认为资料服从正态分布。

参考:

关于偏度与峰度的一些探索

spss教程

注：本文摘自一名AI医疗学习者的文章


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