一、數列考點

1、自然數列

【示例】1，2，3，4，5，6……

2、奇數數列

【示例】1，3，5，7，9……

3、偶數數列

【示例】2，4，6，8，10……

4、平方數列

【提點】熟記1-21的平方

【示例】1，4，9，16，25……

5、立方數列

【提點】熟記1-11的立方

【示例】1，8，27，64，125……

6、多次方數列

【提點】熟記2的1-10次方

【示例】2，4，8，16，32，64，128……

7、質數數列

【提點】質數：大於1的自然數，約數只有1和它本身的數。

【示例】2，3，5，7，11，13……

8、合數數列

【提點】合數：大於1的自然數，約數除了1和它本身之外還有其他約數。

【示例】4，6，8，9，10，12……

9、等差數列

【提點】數列從第二項開始，每一項與它前面一項的差都等於一個常數，這個常數稱為這個等差數列的公差。

【示例】3，9，15，21，27，33，39，……是一個公差為6的等差數列。

等差數列的相鄰項之差是一列常數，即數列相鄰項的差是規律的，利用這一【提點】加以創新，產生了下面兩種基本變化。

基本變化1：數列相鄰兩項之差是一個簡單變化的數列。

【示例】2，3，7，16，32，57，……，相鄰兩項之差依次是 1、4、9、16、25、……，是平方數列。 圖示如下：

基本變化2：數列在連續變化過程中，以數列相鄰項之差為基礎。

【示例】2，5，15，50，175，625，……，從第三項開始，每一項都等於它前面兩項之差的5倍。圖示如下：

10、等比數列

【提點】數列從第二項開始，每一項與它前面一項的比值等於同一個非零常數，這個非零常數稱為這個等比數列的公比。

【示例】2，6，18，54，162，486，……，是一個公比為 3 的等比教列。

等比數列的相鄰項之比是一列常數，即數列相鄰項的比是規律的，利用這一【提點】加以創新，產生下面兩種基本變化。

基本變化1：數列相鄰兩項之比是一個簡單變化的數列。

【示例】3，6，18，90，630，6930，……，教列相鄰項之比依次是 2、3、5、7、11，是質教列。圖示如下：

基本變化2：數列在連續變化過程中，以前一項的倍數為基礎。

【示例】1，4，13，40，121，364，……，數列從第二項開始，每一項都是它前面一項在3倍的基礎上再加1所得到的。1*3+1=4、4*3+1=13、13*3+1=40、40*3 +1=121、121*3+1=364。

11、和數列

【提點】數列從第三項開始，每一項都等於它前面兩項之和。

【示例】1，2，3，5，8，13，……

基本變化1：數列相鄰項之和是一個簡單變化的數列。

【示例】2，2，7，9，16，20，……，相鄰兩項之和依次是4、9、16、25、36，是連續自然數的平方。圖示如下：

基本變化2：數列在連續變化過程中，以相鄰項之和為基礎。

【示例】1，3，8，33，164，985，……，數列從第三項開始，每一項都是它前面兩項的和簡單變化而來，(1+3)*2=8、（3+8)*3=33 、（8 +33)*4=164、（33+164)*5=985。圖示如下：

12、積數列

【提點】積數列指的是數列的第一項和第二項，與第三項存在著倍數關係。

【示例】1，3，3，9，27，243，( )

【解析】可知1*3=3，3*3=9，3*9=27，9*27=243，可知此數列是乘積數列，故( )處填的是27×243，根據尾數法，最後一位應該是1。

基本變化1：前後項不是嚴格的乘積關係，存在乘積+數列，或者乘積+項。

【示例】5，3，16，49，( )

【解析】觀察相鄰三項之間的關係，發現5*3+1=16，3*16+1=49，第三項=第一項*第二項+1，故( )處填的是16×49+1=785。

13、倍數數列

【提點】後一項除以前一項的商有規律，也稱為等比數列變式。當遇到相鄰兩項之間變化幅度在2-6倍的數列，都可以考慮倍數數列的思路。

【示例】1，2，6，24，120，······

基本變化1：倍數加數數列

【示例】1，3，10，32，99，（）

【解析】此數列的特徵，相鄰兩項之間的倍數在三倍左右，因此可以考慮是倍數關係。能夠看出數字之間的倍數是基本能力，建議考生可以從較大的數字部分尋找倍數關係，一般倍數比較單一。所以發現，32和99之間最接近就是3倍，但是不是整數倍，還要找出加減數字的規律，32*3+3=99，10*3+2=32，3*3+1=10，1*3+0=3，所以答案是：99*3+4=301。

基本變化2：倍數加項數列

【示例】1，2，7，30，157，（）

【解析】此數列的特徵，相鄰兩項之間也是2-5倍左右，符合倍數數列的特徵。仍然從較大的數字開始尋找倍數關係，30*5+7=157，7*4+2=30，2*3+1=7，3、4、5倍關係已經可以確定了，但是加的數字：1、2、7本身沒有規律，所以應該結合原來數列的每一項分析，我們發現，加的數字正好是原來數列中的前一項，即：第二項的倍數+第一項=第三項，所以答案是：157*6+30=972。

14、分數數列

【提點】如果數列中出現了較多的分數，就可以基本認定這是一個分數數列。

（1）分子分母分別看規律。這種類型包含了兩種情況。

情況一：直接分子分母分別去看

【解析】分子分母依此可以寫為

所以分母分別為2、4、8、（16）、32、64、128的倍數為2的倍數數列。分子Wie平方數列1、4、9、（16）、25、36、49。所以括弧為16/16=1。

情況二：出現假分數時，先把假分數換位真分數，再將分子分母分別去看

【解析】B。先把假分數換位真分數，分析分母依此可以寫為

分子分母都是質數列。

（2）分子分母間存在某種計算關係。當發現分子分母間沒有明確的規律時，可以考慮分子與分母的關係。

【解析】D。分子=分母*3-2。

（3）分數間項與項的關係

【解析】相鄰兩項的乘積作為一個常數列，依此為2倍、2.5倍、3倍、3.5倍，所以括弧應為倒數第三項的4倍。因此4÷(35/16)=64/35。

（4）分數數列和多次方數列的區分

【解析】如果此題按分數的思路去做，發現就是沒有答案，但是我們發現數列中的每一個數據都是多次方數列，依次為

15、組合數列

【提點】組合數列的形式是數列項數較多（大於6個）)，難度適中。

（1）奇偶項交替變化遞推型

隔項組合數列的特點是：兩個數列(基本數列的任何一種或兩種)進行隔項組合，奇數項和偶數項各為有規律可循的數列，此類題型難度最低，考查概率也最大。

【示例】1，1，1，2，2，4，6，7，（）

【解析】個數較多，間隔組合數列，奇數項為1，1，2，6，作商後分別為1、2、3倍，故應為6的4倍為24。偶數項為1，2，4，7，11二級等差數列。

（2）兩兩分組遞推型

【示例】11，22，20，40，12，24，34，（）

【解析】個數較多，奇偶相間沒有規律，考慮兩兩一組，則每組第二個數為第一個數的2倍。故答案為68。

（3）三三分組遞推型

當考慮奇偶相間及兩兩一組沒有規律，可以考慮為三三分組型。

【示例】4，5，15，6，7，35，8，9，（）

【解析】個數較多，可能有部分考生看到4.、5，6、7，8、9，卻割裂與15、35的關係，三三分組遞推型4×5-5=15，6×7-7=35，8×9-9=63，故選答案為63。

二、解題思維

1、橫向遞推

橫向遞推的思維模式是指在一組數列中，由數字的前幾項，經過一定的線性組合，得到下一項的思維模式。

【解析】B。此題目的突破口是局部比較明顯的倍數關係，1/9的9倍是下一項1；1的7倍是下一項7；7的5倍是下一項35；按照此規律括弧內的數應為35的3倍，即105。

2、縱向延伸

相較於橫向遞推思維模式，稍為複雜的就是縱向延伸的思維模式。他不再是簡單的考慮數列本身，而是把數列當中的每一個數，都表示為另外一種形式，從中找到新的規律。我們只需要把剛才的例子換一個數字，那麼思維模式就完全不同了。

【解析】注意這樣一個數列，如果我們把35換成36的話，我們會發現，前後項之間就沒有完整的倍數變化了。明顯橫向遞推受阻進行不下去，那麼我們可以換一個方向想，用縱向延伸的思維模式，把數列中每一個數字都用另外一種形式來表述。

3、構造網路

構造網路這個思維模式是近兩年數字推理的一個出題趨勢，中公教育專家結合近兩年考過的真題為大家詳解。

【示例】1，2，6，16，44，120，( )

【解析】從所給出的數字入手單調遞增，相鄰兩項間的幅度變化在3倍以內，可能為等差、倍數、和數列。先看倍數關係，但相鄰兩項間的倍數關係沒有規律，作差也沒有規律，考慮兩兩做和3，8，22，60，164。

作出的和找不到明顯規律，這個時候我們就帶著新數列和原數列建立起網路，看一看他們有沒有什麼聯繫，我們發現「和」和原數列的下一項有完整的2倍關係。也是常用的構造網路思維模式，與原數列一起找規律。

總結一下構造網路這種思維模式，一次橫向遞推沒有規律的話，就一定要再想多一層，看看橫向遞推後的數列與原數列間有沒有規律，這個規律是比較明顯的，大家去和原數列的項找一找有沒有倍數關係或者多個數的加和關係，這一種思維方式比較靈活。


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