大脑与数学学习_《帮孩子找到自信的成长型数学思维：学好数学不必靠天赋，史丹佛大学实证研究、让孩子潜力大爆发的关键方法》
过去十年我们看到许多技术出现，让研究人员有新的机会探 索心智与大脑的运作。现在科学家可以在儿童和成年人做数学的 时候进行研究，监测脑部的活动；他们可以观察大脑的发育和退 化，以及看到不同的情绪及状况对大脑活动的影响。近年来出现 了一个涉及「大脑可塑性」的领域，让科学家很惊讶。过去我们 认为，与生俱来的大脑是无法改变的，不过这个看法现在已经彻 底证明是错的。一项又一项的研究已经显示，大脑有不可思议的 能力，能够在极短的时间里发展与转变（Abiola & Dhindsa, 2011; Maguire, Woollett, & Spiers, 2006; Woollett & Maguire, 2011）。 当我们学习新的概念时，脑中会放出一道电流，跨越许多突触，连结大脑的不同区域（见图 1.1）。 如果你把某个概念学习得很深入，突触的活动就会在你的脑内建立起永久的连结，形成结构性的途径，但倘若你只接触这个 概念一次或是只有粗浅的了解，这些突触连结就可能会像沙地上 的足迹般被「冲刷掉」。学习时，突触会受到激发，不过学习并 非只发生在课堂上或阅读书本的时候；当我们交谈、玩游戏或玩 具，以及在许许多多的经验中，突触都会受到激发。
针对伦敦黑色计程车司机脑部发展研究的发现，让科学家对 能力和学习改观。我是英国人，在伦敦搭过很多次计程车，还记 得小时候兴奋地跟家人坐几小时的车到伦敦一日游，这些都是美 好的回忆。成年之后，我在伦敦大学国王学院读书、工作，于是 有更多机会搭计程车在伦敦到处跑。伦敦地区有几种计程车在营运，但在伦敦最常见的就是黑色计程 车（称为 Black Taxi 或 Black Cab， 见图 1.2）。
我在伦敦搭黑色计程车穿街走 巷的大部分岁月里，我并不晓得那些 司机多么驾轻就熟。原来，要在伦敦 开黑色计程车，申请人必须先受训二 到四 年，记住查令十字 街（Charing Cross）方圆二十五英里内的两万五千 条街道和两万个地标。在伦敦市要学 会认路，比起大部分的美国城市更具 挑战性，因为伦敦的格局不是棋盘式 的，而是成千上万交织、相互连通的 街道（见图 1.3）。
受训结束时，这些黑色计程车司机需要接受检定，这项检定就简单又直接地 称为「知识大全」（The Knowledge）。如果你坐在伦敦黑色计程车上，跟司机 问起「知识大全」，他们通常会很乐意告诉你这个检定多么难考，并跟你分享他 们受训期间的故事。「知识大全」是全世界公认要求最严格的课程之一，申请人 平均要考十二次才有办法通过检定。
在二十一世纪初，科学家决定研究伦敦黑色计程车司机，想找寻多年下来 复杂空间训练对这些司机脑部造成的改变，但那些科学家没料到结果竟然这么惊 人。研究人员发现，计程车司机脑部的海马回在受训结束时明显增大（Maguire et al., 2006; Woollett & Maguire, 2011）；而海马回（hippocampus）是脑中负 责取得并使用空间资讯的区域（见图 1.4）。
科学家也做了其他的研究，把黑色计程车司机的脑部生长和伦敦公车司机的 脑部生长进行一番比较。比起计程车司机，公车司机只要熟记单一的路线，这些 研究结果也显示，他们的海马回没有类似的增长（Maguire et al., 2006）。这就 证实了科学家所做的结论：黑色计程车司机的脑部有惊人增长，是因为他们接受格外复杂的训练。科学家在进一步的研究中更发现，黑色计程车司机退休后，他们的海马回又会缩小下来（Woollett & Maguire, 2011）。
现在已经有很多针对黑色计程车司机所做的研究（Maguire et al., 2006; Woollett & Maguire, 2011），都显示出大脑有一定程度的适应性或可塑性，这让 科学家很吃惊。他们先前并没想过居然会测出这么大幅度的脑部生长，这也使得 科学界对于「学习」、「能力」以及「大脑是否有可能改变与成长」的想法有所转变。
就在黑色计程车司机研究出现的同时发生了另一件惊动科学界的大事。九岁 女孩卡麦蓉 ˙ 莫特（Cameron Mott）患有严重的癫痫，很多医生都束手无策。 她的内科医生乔治 ˙ 杰罗医师（Dr. George Jello），提议采取根本而又极端的 疗法：切除她的左半脑。这是项革命性的手术─幸好最后也成功了。卡麦蓉在 手术后几天瘫痪，医生们都推测她会有几年的时间处于肢体障碍，因为左半脑掌 管的是肢体动作，但几个月之后，她的肢体及动作的恢复状况让医生目瞪口呆， 而这只说明了一件事─她的右半脑发展出执行左半脑功能所需的连结。这些医 生都认为这是大脑不可思议的可塑性所致，他们只能推断，卡麦蓉的脑实际上 是「重新长出来的」。新脑生长得比医生们想像的还要快，虽然失去大半个脑让 她的脚有点跛，但卡麦蓉现在可以跟其他孩子一起奔跑玩耍了。（https://www.today.com/health/meet-girl-half-brain-1C9402834）。
关于脑可以增长、适应、变化的一些新发现，让科学界大为震惊，也促使科 学家纷纷利用不断发展出来的新技术与脑部扫描设备，重新研究人脑与学习。其 中有一项研究，我认为对我们教育工作者而言非常重要。进行这项研究的是美国 国家心理卫生研究院（NIMH）的研究人员，他们让受试者每天进行十分钟的训 练，持续三周，然后把受试者的大脑和对照组进行比较。结果显示，每天训练几 分钟的人的大脑发生了结构性的变化。总共十五个工作天、每天进行十分钟的心 智任务，这些参与者的大脑呈现出「重新布线」（rewired）和增长的反应（Karni et al., 1998）。这样的结果或许能促使教育工作者扬弃那些仍然充斥在校园里，既传统又根深柢固的想法：认为孩子不是聪明就是笨；不是学得快就是学得慢。 如果大脑能够在三个星期就产生改变，而且给学生适当的数学材料，让他们接收 到对自己潜能的肯定，那么上了一年的数学课会发生什么变化也就可想而知了。 在第 5 章将会解释哪种本质的数学课堂活动最能帮助学生感受到这样的改变。
来自大脑研究的新证据告诉我们，只要教学和传递的讯息是恰当的，人人都 能学好数学，都能在学校获得最好的成绩。虽然有一些孩子情况特别，有特殊的 教育需求，会增加数学学习的难度，但对于绝大多数（大约 95％）的孩童来说， 任何程度的学校数学都在能力范围内。不仅如此，在有特殊需求的孩子身上，大 脑增长变化的潜力也同样强大，家长和老师都必须先认知这个重点。我在工作坊 和演讲时跟老师们分享这个证据时，大部分的人都得到激励，但并非所有人都受 到感召。最近和一群老师分享的时候，就有一位国中数学老师显然对这个理念感 到不安，他说：「妳该不会是要告诉我，我们学校里随便一个六年级学生都可以 念高三的微积分？」而当我回应「那正是我的意思」时，我看得出来他真的对这 个想法感到不安─虽说他没有当场反驳，这点值得赞许。有些老师会很难接受 任何人都能学习高等数学，尤其是在他们已经花很多年判定谁能学好、谁无法学 好数学，并且因材施教的情况下。当然，六年级生打从出生起就得到许多经验和 讯息，这些经验和讯息已经阻碍了一些学生的发展，有的学生在升上六年级时具 备的数学知识，可能明显落后其他人，不过这并不表示他们无法急起直追到最高 的程度─假如他们接受到所有的孩子该有的优良教学与帮助，他们就办得到。 经常有人问我，我是否认为每个人的脑袋生来都是一样的。并不是。我的意 思是，孩子一生经历的大脑增长经验，远比任何先天的大脑差异来得重要。一般 人都认定，我们生来的模样决定了我们的潜能；他们会举公认为天才的名人当作 例子，譬如爱因斯坦或贝多芬。然而现在科学家知道，我们出生后的学习经历会 盖过出生时存在于大脑的任何差异（Wexler in Thompson, 2014）。大脑中的突 触每分每秒都在受激发，而在成长型思维、有启发性的环境中培养出来的学生， 什么事都难不倒他们。大脑的差异虽然会让一些人在起步时有优势，但具备这种先机并且因而获得长期优势的，只是极少数人。此外，被称为天才的那些人，往 往会强调自己付出多少努力和犯了多少错误。大家公认的天才当中，最出名的大 概就是爱因斯坦，他到九岁时才会识字，而且经常讲自己的成就来自所犯过的错 误以及所展现的坚持。他会尽力尝试，出错了就更加努力，他以成长型思维者的 态度思考研究工作与人生。许多科学证据显示，成功者与不成功者的差异不在于 与生俱来的大脑，而在于他们看待人生的态度、接收到与自己潜能有关的讯息， 以及拥有的学习机会。当学生对自己有信心，最好的学习机会就会出现。太多学 生因为在学校里得到否定讯息而阻碍学习，这些讯息让他们以为自己不如人，没 有别人具备的潜力。这本书就是要提供各位需要的资讯，不管你是老师还是家长， 目的就是要给学生需要且应该要有的自信；要把他们放在一条通向数学思维的学 习轨迹上，不论先前的经验是好是坏。正如后面各章会描述的，这条新的轨迹是 要让学生改变看待自己的方式，也要改变他们思考数学这门科目的方式。
虽然我的意思不是每个人的脑袋生来都一样，但我还是要说，并没有所谓的「数学头脑」或「数学天分」。没有谁生来就懂数学，也没有哪个人天生欠缺学 习数学的能力。很不幸的是，相信资赋优异的这个信念十分普遍。近来有些研究 人员想知道大学教授对于各自的领域是否需要资赋的相信程度（Leslie, Cimpian, Meyer, & Freeland, 2015），结果他们惊人地发现：数学界的教授对于谁能念数 学，最固执己见；他们还发现，在越重视资质的学术领域，拥有博士头衔的女性 就越少，而且对领域专业能力的信念，与他们调查的三十个学术领域的女性人数， 两者是相关的。在教授相信只有「资优者」才能有所成就的那些领域，女性人数 之所以比较少，是因为对于谁真正适合的刻板信念仍旧普遍存在，就如第6章所 描述的。我们必须改变对于数学学习的见解，在跟学生交谈与互动的过程中采取 更公正开明的观点，这对我们的社会势必会有帮助。我们的交谈与工作能力需求 反映出大脑的新科学研究。向所有人传达人人都能学好数学，而不是只有那些「有 天赋」的人，这可能会是开启不同前途的关键─未来，数学创伤将成往事，各 种出身背景的学生都能获得良好的数学学习机会。
在卡萝˙杜维克和她的同事所做的研究中，约有 40 ％的孩子抱持负面的 僵固型思维，认为智能是一种天赋，有的人有，有的人没有。另外也有 40％的 孩子持成长型思维，而其余的 20 ％则在两种思维模式之间摇摆不定（Dweck,2006b）。持僵固型思维的学生比较可能轻言放弃，而持成长型思维的学生即使 遇到难题也会继续努力，坚持不懈，展现出心理学家安琪拉˙达克沃斯（Angela Duckworth）所称的「恒毅力」（grit）（Duckworth & Quinn, 2009）。在一项 研究中，研究人员针对国中一年级学生做了一份调查，想要评量他们的思维模式， 接著追踪这些学生两年，密切观察他们的数学成绩。研究结果很出人意料：持僵 固型思维的学生成绩保持不变，持成长型思维的学生成绩却不断提高（Blackwell et al., 2007）（见图 1.5）。
在其他的研究中，研究人员证实学生及成年人的思维模式可以从僵固型思维 转变为成长型思维，而且他们的学习方式会随著思维模式的转换明显变得更积极 成功（Blackwell et al., 2007）。我们还有新的证据，我会在第2章再回头谈， 显示那些持成长型思维的学生在出错的时候，会有比较活跃的大脑活动，发亮的 脑区较多，而且比较注意错误的处理与修正（Moser, Schroder, Heeter, Moran, & Lee, 2011）。
我并不需要更多的证据，来说明帮助学生及成年人发展成长型思维有多么重 要，特别是数学的成长型思维。不过由于我最近和国际学生能力评量计划（PISA） 团队同坐在巴黎的经济合作暨发展组织（OECD）总部，跟他们一起深入研究来 自世界各地一千三百万个学生的资料集。PISA 团队每四年举办一次跨国测验， 全球的新闻媒体都会报导评量结果。测验成绩往往会在美国各地开始引起警觉， 因为最近几次测验中，美国学生的数学表现在六十五个 OECD 国家当中排名第 三十六（PISA, 2012）─这个结果就跟其他很多结果一样，说明美国迫切需要 改革数学教学与学习。然而 PISA 团队所做的不只是执行数学测验，他们还进行 调查，搜集学生对数学的看法和信念，以及他们的思维模式。在我受邀跟 PISA 团队合作之前，几位小组成员参加过我去年夏天开设的线上课程，帕布罗˙佐依多（Pablo Zoido）是其中一位，他是个讲话轻声细语的西班牙人，对数学学 习有一些独到的见解，而且在处理庞大资料有相当丰富的专业知识。帕布罗是 PISA 的分析师，在我跟他一起深入研究数据的过程中，看到了很让人惊讶的事 情─全世界表现最好的学生，是那些具有成长型思维的学生，而他们的优异成 绩相当于比其他学生多了超过一年的数学程度（见图 1.6）。
负面的僵固型思维─也就是让学生相信自己如果不是聪明就是笨的想法， 会使学习成就大幅受到影响，其中深受这些信念所害的学生就是表现优异的女孩 子（Dweck, 2006a）。事后发现，就连相信自己很聪明 ─ 这种僵固型思维的 讯息，也是有害的，因为持这种僵固型思维的学生害怕犯错，怕大家不再认为自 己聪明，因而比较不愿意尝试更具挑战性的工作或题目。有成长型思维的学生则 会接受难题，他们也会把失误视为学习更多的挑战与动机。以僵固型思维来思考 在女孩子当中是很常有的事，而这也是女生选择不念理工科系的一大原因，这 不但让她们的人生机会变少，也会使理工科系缺乏女孩子和女性的思维与观点（Boaler, 2014a）。导致美国有那么多学生持僵固型思维的原因之一，是来自家长和老师给予的称赞。他们一受到既定的褒扬，譬如表现很好时被人夸聪明，一开始可能会觉 得愉悦，但若他们退步或失败了，就会认为自己根本没那么聪明。在最近一项研 究中，研究人员发现从父母在幼儿三岁前给予的赞美，可预测出这些幼童五年后 的思维模式（Gunderson et al., 2013）。学生所受的称赞可能会带来非常大的影 响，甚至当下就会影响他们的行为表现。在杜维克做的其中一个研究中，研究人 员要四百个五年级生做个简单的小测验，结果几乎全部的人都表现得很好，随后 有半数的孩子被夸奖「非常聪明」，另外一半得到的好评是「非常勤奋努力」。 接著，研究人员要他们从两个测验当中选一个来做，其中一个非常简单，他们应 该能顺利作答，另一个测验比较有挑战性，他们也许会答错。结果，被夸勤奋的 那些学生有九成选了比较难的测验，而被夸聪明的学生大部分选择了简单的测验（Mueller & Dweck, 1998）。 赞美让人愉悦，但如果受到称赞的是个人特质（例如：「你真是聪明！」）而非所做的事（例如：「这作品太棒了！」），他们会觉得自己拥有固定限度的 能力。要是告诉学生他们很聪明，会为他们日后埋下隐忧。学生势必在求学阶段和人生中会遭遇许多失败，这时他们会自我评价，判断自己究竟有多聪明或多笨。 理想的赞美不是夸奖学生的聪明或其他个人特质，而是要说「你弄懂了，真好」、「你想得非常透彻」之类的话。 有个传统观念充斥在我们的教育体系中，就是认为有些学生发展得慢，学习不了某些程度的数学。我最近在某所学校遇到的一群高中数学老师，居然上书 学校董事会，辩称有学生永远修不过「代数二」。他们特别举出低收入家庭的少 数族裔学生为例，声称除非老师把课程内容简化，否则这些学生没办法学会代 数。我们必须把这种强调能力不足与种族差异的思维赶出校园。那些老师写的信 刊登在当地的报纸上，最后还被州议会拿来当作例子，证明有必要成立特许学校（charter school）（Noguchi, 2012）。这封信令很多人震惊，但很不幸，许多 人也都认为有些学生学不了高深的数学。强调能力不足的思维可能会以各种形式 出现，有时候还会带著对学生的真正关心。很多人相信，学生在准备好学习某些 数学之前，必须经历一个发展阶段。然而这些观念落伍了，因为他们已经做好所 有的准备；要是没有，他们还是能借由适当的经验、他人寄予的厚望和成长型思 维，轻而易举地做好准备。学生不必按照预定的进度学习数学，也就是说，即使 他们还没达到某个年龄或情绪成熟度，仍然可以学会数学。学生之所以没准备好 学习某些数学，可能是因为他们还需要学一些尚未学会的先备基础，而不是因为 他们的年龄或成熟度不足，导致脑袋没办法发展出连结。只要学生需要新的连结， 他们就能学习。
对很多人来说，若要体认到数学思维的重要性，或想要发展出改变学生思 维模式的观点及策略，就需要仔细想想我们自己的学习经验以及跟数学之间的关 系。许多和我合作过的小学老师（其中一些人也参加了我的线上课程）告诉我， 我跟他们分享那些关于大脑、潜能、成长型思维的观念，改变了他们的人生，促 使他们发展出面对数学的成长型思维，让他们用信心与热忱看待数学，并把这一 切传递到学生身上。这对小学老师来说往往特别重要，因为很多小学老师在他们 自己的学习过程中就曾被告知，他们学不好数学或不是念数学的那块料，很多人是怀著害怕数学的恐惧感在教数学的。我和他们分享的研究，帮助他们消除这份 恐惧，把他们引导到不一样的数学旅程上。希恩 ˙ 贝萝克（Sian Beilock）和她 的同事做了一项重要的研究发现，由小学老师对数学抱持的负面情绪程度，可 预测出教学班级里的女生而非男生的数学成绩（Beilock, Gunderson, Ramirez, & Levine, 2009）。会出现这种性别差异，可能是因为女生对她们的女老师产生认 同，尤其是在小学的时候。女生很快就会注意到老师对于数学的负面讯息，即使 这些讯息经常是出于善意的，像是「我晓得这真的很难，不过我们还是做做看」、「我以前在学校的时候数学很差」或是「我一直不喜欢数学」。这项研究也凸显 了老师释放的讯息与学生的成绩之间的关系。
无论你在思维模式的旅程上走到哪个位置，不管这些在你看来是不是很新的 观念，或者你本身就是思维模式专家，我都希望这本书里分享的资料和观念，能 帮助你和你任何程度的学生对数学改观，让数学变成可亲近又充满乐趣的科目。 接下来的第2到第8章，我会分享我从经年累月的研究与课堂实务经验汇集而来 的许多策略，在数学课堂上和家里都可以运用这些策略来激发出成长型思维 也就是让学生体会到发展出坚毅数学思维模式的策略。
《帮孩子找到自信的成长型数学思维：学好数学不必靠天赋，史丹佛大学实证研究、让孩子潜力大爆发的关键方法》
出版时间︰2019.01.03
作者︰Jo Boaler
定 价︰480元
史丹佛大学数学教育系教授、PISA顾问写给家长与老师的最佳伴学/教学指南
荣登亚马逊「数学教学素材类」、「STEM教育类」畅销双榜首，读者评价4.5颗星
学数学需要大胆地胡思乱想，不怕犯错
抛开高智商偏见，舍弃数学天分迷信
想逆转痛苦的数学学习经验，先培养成长型思维！
本书不仅以清晰易懂的方式呈现「成长型思维」的研究结果，更是家长及老师可直接使用的数学教育创新实作手册！！
担心孩子没有数学天分发展会被局限吗？孩子讨厌、害怕数学该怎么办？
针对大多数家长及学生的痛苦与盲点，史丹佛数学教育系教授裘．波勒，用神经科学与教学现场的多年经验告诉你：相信孩子比填鸭教育更有效！
▎成长型思维是什么？
成长型思维是相信大脑与能力可以借由学习变强大的信念。研究证实，学习能刺激大脑增长并强化突触之间的连结。强大的神经网路能让学习表现提升，启动成果与动机共同成长的正向循环，促使孩子朝「向上的学习轨迹」发展。
▎如何建立孩子向上的学习轨迹？
◎犯错时给予鼓励，甚至「鼓励犯错」
我们都该知道犯错非常珍贵，假设极端一些，当孩子答对所有题目时，你可以说：「唉，真是可惜，因为那表示你没机会学到东西。」
◎和孩子一起想想：「为什么是这样？」、「还有没有其他方法？」
学习解题时，要常引导孩子在理解数学观念后思考做法和题目之间的关联，更必须互动交谈，找出更多种解法。例如求解18×5可以怎么做？为什么合理？还有没有另一种作法？
◎教导孩子图像化地思考数学
引导孩子如同数学家般，不只是做计算，更必须提出好问题，甚至把想法画下来，因为「画出数学」远比呆坐空想或写出数学算式更能激发想像力。
◎鼓励孩子运用直觉与想像力
若让孩子思考如何求出柠檬的体积，他们或许会花费很多时间提出数种错误的方法，但真正的数学正是需要如此，因为在未知的数学领域中，无数的尝试和错误是归纳出系统性解法的必经途径。
◎建立孩子的数感
数感就是可以灵活运用数字的能力，需要对数字有概念，以及对数字与数字之间的关联有深刻的理解。例如计算19×19，有些孩子倾向直接相乘，但有数感的孩子知道可以先把19都看成20-1，让原本复杂的二位数乘法也可以轻松得出答案，而且不靠死记硬背。
家长及老师的职责是让孩子有机会见识数学的自由、广博与美丽，透过成长型的数学思维让他们自信地在数学世界里碰撞与成长，并且让他们相信，只要付出努力，人人都是数学家。
目 录
推荐序
导读 错误是学习的起点
序
台湾版作者序
前言
第一章 大脑与数学学习
第二章 犯错与努力的力量
第三章 数学的创造力与美
第四章 培养数学思维：灵活运用数字的重要性
第五章 丰富多变的数学课堂活动
第六章 追寻平等之路
第七章 从分轨教学到成长型思维分组
第八章 评量成长型思维的成效
第九章 促进成长型思维的数学教学
参考资料
附录一
附录二
致谢
作 者
Jo Boaler
史丹佛大学数学教育系教授、Youcubed平台共同创办人、PISA测验分析师，也是MOOC第一个线上数学教学及学习课程的作者。她曾在英国担任玛丽．居礼数学教育讲座教授（Marie Curie Professor for Mathematics Education），获得英国教育研究协会（British Educational Research Association）颁发之最佳博士奖。也曾获选为英国皇家艺术学会（Royal Society of Arts）会员，并担任过国际女性及数学教育组织（International Organization for Women and Mathematics Education）主席。波勒是美国国家科学基金会（National Science Foundation）总统奖及美国全国数学督导委员会（NCSM）Kay Gilliland平等奖的获奖者，发表过九本著作及大量研究论文，并担任矽谷多家公司的顾问，曾在白宫发表关于女孩读理工科目的议题。近期成立了www.youcubed.org，提供教师与家长在数学方面激发及勉励学生所需的资源和理念。
译 者
毕馨云
国立清华大学数学系毕业之后，在出版社担任科普书编辑十多年，现在为自由译者，假日在交响乐团拉大提琴。译有《这才是数学》、《科学酷妈的育儿大探险》、《原来数学这么漂亮》、《不败的数据学》、《万物视觉化》等；另有译作刊于《BBC知识》杂志。