家長是孩子最好的老師，

這是奧數君第802天給出奧數題講解。

今天的題目是數論問題，

解題所用知識不超過小學4年級。

題目（超5星難度）：

在小於2019的所有自然數中，取出一部分數字，使剩下的數中的任意3個數，其中1個都不是另外2個數的乘積。問最少需取出多少個數字？

講解思路：

這道題屬於極端構造問題，

要判斷最少取出多少個數字，

通常有兩種做法，

第一種是通過極端條件求解；

第二種是先說明取出某n個數可行，

然後說明如果取的數少於n個，

剩下的就一定不滿足條件。

本題只通過極端條件很難說明，

因此我們採用兩種方法相結合。

步驟1：

先思考第一個問題，

要使取出的數字最少，

應該取出哪些數字？

在所有數字都不大於2019時

兩個數字的乘積要等於第三個數，

肯定是參與乘法的兩個數字越小，

可能出現的次數越多。

因此考慮先取出那些較小的數。

註：這一步其實是極端條件。

步驟2：

再思考第二個問題，

如果取出2到44的全部43個數字，

是否能滿足題目要求？

由於45*46=2070 > 2019,

若取出2到44的全部43個數字，

剩下的數字中任意找3個數，

如果1在其中，

顯然滿足題目要求；

如果1不在其中，

2個數的乘積也大於2019，

一定滿足題目要求。

因此取出這43個數字是可行的。

步驟3：

再思考第三個問題，

如果取出的數少於43個，

能否滿足條件?

如果能構造出43個乘法算式，

每個算式都形如m*n=k,

所有算式中129個數都不相同，

就可以說明少於43個數不可行。

由於兩個數的和固定時，

這兩個數越接近，

它們的乘積就越大，

不會出現相同的情況。

注意到44*45=1980 < 2019,

讓參與乘法的兩個數的和是89,

可以據此構造43個乘法算式:

2*87,3*86,4*85,…,44*45,

其中的129個數都不相同。

如果取出的數少於43個，

根據鴿籠原理，

至少有一個算式中3個數都保留，

此時原題的條件就不能滿足。

結合步驟2的結論，

所以最少需取出43個數。

注:步驟3中採用了構造法，

構造法是數學中最難的部分，

需要的是靈機一動，

構造的方法並不唯一。

思考題（4星難度）：

為加深理解，對原題換個數字:

在小於100的所有自然數中，取出一部分數字，使剩下的數中的任意3個數，其中1個都不是另外2個數的乘積。問最少需取出多少個數字？

微信回復「20190324」可獲得思考題答案。

註：過4個月之後，關鍵詞回復可能失效。

同類題目鏈接：

19年3月22日題目（極端構造問題）

19年3月6日題目（極端構造問題）

19年2月5日題目（極端構造問題）

19年1月8日題目（極端構造問題）

19年1月1日題目（極端構造問題）

18年12月23日題目（極端構造）

18年11月04日題目（極端構造問題）

18年10月15日題目（極端構造）

18年9月3日題目（極端構造）

18年8月3日題目（極端構造）

18年6月16日題目（極端構造問題）

18年3月13日題目（極端構造問題）