已知橢圓 dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 的右焦點 F(1,0), 離心率為 dfrac{sqrt2}{2}, 過 F 作兩條互相垂直的弦 AB,CD. 設 AB,CD 的中點分別為 M,N.

(1)求橢圓的方程.(2)證明：直線 MN 必過定點，並求出此定點坐標.

(1）橢圓的方程為 dfrac{x^2}{2}+y^2=1

(2)思路分析：考慮到極限情況，當 k_1k_2=0 時，直線 MN 即為 x 軸，所以如果 MN 恆過定點，此定點必在 x 軸上，此舉為我們順利找到定點指明瞭方向.當 AB,CD 關於 x 軸對稱時 MNperp x 軸，此時 k_1^2=1, M 橫坐標即為定點橫坐標.在解題過程中不要漏掉這幾種特殊情況的說明.

常規解法：設 AB,CD 所在直線斜率分別為 k_1,k_2, 當 k_1,k_2 有一個為0時，直線 MN 即為 x 軸；當 k_1=pm1 時 k_2=mp1， 此時 MNperp x 軸.

下設 k_1,k_2 均不為 0,pm1.

直線 AB 方程為 y=k_1(x-1),

設A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),

聯立方程

egin{cases}y=k_1(x-1)\ dfrac{x^2}{2}+y^2=1end{cases}, 消去 y, 得方程

(1+2k_1^2)x^2-4k_1^2x+2(k_1^2-1)=0,

於是 dfrac{x_1+x_2}{2}=dfrac{2k_1^2}{1+2k_1^2},

Tips:當 k_1^2=1 時，中點橫坐標為 dfrac23, 所以定點應該為 (dfrac23,0)

代入到直線方程中去得 dfrac{y_1+y_2}{2}=dfrac{-k_1}{1+2k_1^2},

於是 M(dfrac{2k_1^2}{1+2k_1^2},dfrac{-k_1}{1+2k_1^2}). 同理可得 N(dfrac{2k_2^2}{1+2k_2^2},dfrac{-k_2}{1+2k_2^2}).

由於 k_1k_2=-1, 所以 N(dfrac{2}{k_1^2+2},dfrac{k_1}{k_1^2+2}).

直線 MN 的斜率為 dfrac{dfrac{k_1}{k_1^2+2}+dfrac{k_1}{1+2k_1^2}}{dfrac{2}{k_1^2+2}-dfrac{2k_1^2}{1+2k_1^2}} =dfrac{k_1(3k_1^2+3)}{2(1-k_1^4)} =dfrac{3k_1}{2(1-k_1^2)},

直線 MN 的方程為

y+dfrac{k_1}{1+2k_1^2}=dfrac{3k_1}{2(1-k_1^2)}(x-dfrac{2k_1^2}{1+2k_1^2}),

y-dfrac{3k_1}{2(1-k_1^2)}x =-dfrac{k_1}{1+2k_1^2}-dfrac{3k_1}{2(1-k_1^2)}cdotdfrac{2k_1^2}{1+2k_1^2}

=-dfrac{k_1}{1+2k_1^2}(1+dfrac{3k_1^2}{1-k_1^2}) =-dfrac{k_1}{1+2k_1^2}dfrac{1+2k_1^2}{1-k_1^2} =-dfrac{k_1}{1-k_1^2},

於是當 x=dfrac23，y=0 時上式恆成立.即直線 MN 恆過 (dfrac23,0) 點.

在這裡我寫得這麼詳細，是說不要被這麼長的式子嚇倒，化簡是很輕鬆滴.

下面再說明一些特殊情況.

當 k_1,k_2 有一個為0時，直線 MN 即為 x 軸，也過 (dfrac23,0) 點;

當 k_1=pm1 時 k_2=mp1 時 dfrac{x_1+x_2}{2}=dfrac{2k_1^2}{1+2k_1^2}=dfrac23,

直線 MN 方程為 x=dfrac23 ,也過 (dfrac23,0) 點.

綜上，直線 MN 恆過 (dfrac23,0) 點.

方法二：

在方法一中我們得到 M(dfrac{2k_1^2}{1+2k_1^2},dfrac{-k_1}{1+2k_1^2}).

於是 k_{OM}=-dfrac{1}{2k_1}, 即 k_{OM}cdot k_{AB}=-dfrac12.

其實有一性質，簡單來講就是

dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 上弦 AB 中點為 M ,則 k_{AB}cdot k_{OM}=-dfrac{b^2}{a^2}.

為簡化，重新設 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2), 得到關係式

dfrac{y_1}{x_1-1}cdotdfrac{y_1}{x_1}=-dfrac12,(*)

dfrac{y_2}{x_2-1}cdotdfrac{y_2}{x_2}=-dfrac12,(**)

dfrac{y_1}{x_1-1}cdotdfrac{y_2}{x_2-1}=-1.(***)

可得 dfrac{y_1}{x_1}cdotdfrac{y_2}{x_2}=-dfrac14.

y_1^2+dfrac12(x_1^2-x_1)=0,

y_2^2+dfrac12(x_2^2-x_2)=0,

所以 M,N 必在橢圓 y^2+dfrac12(x^2-x)=0上，

且與原點連線的斜率乘積為 -dfrac14.

這不就是斜率積或和為定值問題嗎？一般思路是利用1，化橢圓方程為齊次方程，再根據根與係數關係.

設 MN 方程為 mx+ny=1,

代入到橢圓方程中的一次項，

y^2+dfrac12x^2-dfrac12(mx+ny)x=0,

y^2-dfrac12nxy+dfrac12(1-m)x^2=0,

(dfrac yx)^2-dfrac12n(dfrac y x)+dfrac12(1-m)=0,

dfrac{y_1}{x_1}cdotdfrac{y_2}{x_2}=-dfrac14,

所以由根與係數的關係， dfrac12(1-m)=-dfrac14, 解出 m=dfrac32,

所以 MN 方程為 dfrac32x+ny=1, 顯然直線恆過 (dfrac23,0).

最後把一些特殊情況再說明一下就行了.

注意這地方不要用那兩條垂線斜率積為-1來使用根與係數關係,那樣處理起來會麻煩些.

方法三：方法二得到 dfrac{y_1}{x_1-1}cdotdfrac{y_1}{x_1}=-dfrac12, (*)

dfrac{y_2}{x_2-1}cdotdfrac{y_2}{x_2}=-dfrac12,(**)

dfrac{y_1}{x_1-1}cdotdfrac{y_2}{x_2-1}=-1.(***)

接下來換種方法來做.

說明：注意前面分析過定點在 x 軸上，設為 P(x_{_P},0)， 先表示出

x_{_P}, 利用 k_{MP}=k_{NP}, 即 dfrac{y_1}{x_{_P}-x_1}=dfrac{y_2}{x_{_P}-x_2}, 求出 x_{_P}=dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}, 然後問題轉為求出這個常數.

(***) 除以 (*) ,得 dfrac{y_2}{x_2-1}cdotdfrac{x_1}{y_1}=2,

x_1y_2=2x_2y_1-2y_1,

同理得 x_2y_1=2x_1y_2-2y_2,

兩式相減得 x_1y_2-x_2y_1=2(x_2y_1-x_1y_2)-2(y_1-y_2),

即 3(x_1y_2-x_2y_1)=2(y_2-y_1),

dfrac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}=dfrac23=x_{_P}.

下面就是整理，添加特殊情況了，不再贅述.

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