傅里葉法計算倒冪級數和

//量子力學中無限深勢井的求解常常涉及到如 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^s}}$ 的級數計算，數學上它可以解析延拓成黎曼 函數。物理上我們可以利用傅里葉展開計算這類級數。前置：Rnderace：我有特別的傅里葉展開技巧

根據傅里葉展開的原理，我們選取上的正交函數系做餘弦展開，由於問題是基於量子力學中的深勢井，略去函數能夠以這種形式展開的證明。

$left{ frac{1}{sqrt{pi}},sqrt{frac{2}{pi}}cosx,sqrt{frac{2}{pi}}cos2x,sqrt{frac{2}{pi}}cos3x,...,sqrt{frac{2}{pi}}cosnx ight}$

情形

對進行傅里葉展開： $x=frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^{infty}{frac{2}{pi}a_ncos(nx)}$ ，至於為什麼是，下面會解釋。

首項： $frac{1}{pi}int_{0}^{pi}xdx=frac{pi}{2}$

餘弦項： $a_n=sum_{n=1}^{infty}frac{2}{pi}{int_{0}^{pi}ucdot cos(nu)ducdot cos(nx)}=sum_{n=1}^{infty}frac{2}{pi}{c_ncdot cos(nx)}$

$c_n=int_{0}^{pi}ucdot cos(nu)du=frac{1}{n}left{ left[ ucdot sin(nu) ight]_{0}^{pi}-int_{0}^{pi}sin(nu)du ight}$

$=frac{1}{n^2}[cos(nu)]_{0}^{pi}=egin{cases} 0, quad n為偶數.\-frac{2}{n^2},quad n為奇數. end{cases}$

所以 $a_n=sum_{n=1,3,5...}frac{2}{pi}(-frac{2}{n^2})cdot cos(nx)=-frac{4}{pi}sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{(2n+1)^2}}cdot cos(nx)$

令，則 $0=frac{pi}{2}-frac{4}{pi}sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{(2n+1)^2}}$

$sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{(2n+1)^2}}=frac{pi^2}{8}$

這裡說明一下展開規律，由於在計算的時候需要做分部積分，而每一次進行分部積分操作就會多出來一個 $frac{1}{n}$ ，而最後的式子能計算出來的必要條件是最終代值要是 $[cos(nx)]_{0}^{pi}$ 。所以計算 $frac{1}{n^s}$ 的和時，需要展開 $x^{s-1}$ 。

這樣我們就完成了如何利用傅里葉級數計算倒冪級數。但這樣實際操作很麻煩，下面介紹一個更加實用的辦法：

雖然量子力學中碰到的往往都是 $sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{(2n+1)^a}}$ ，其中是實數。但是實際上，只要我們知道了 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^a}}$ ，問題就解決了。因為 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^a}}=sum_{n=0}^{infty} {frac{1}{(2n+1)^a}}+sum_{n=1}^{infty}frac{1}{(2n)^a}$

即： $sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{(2n+1)^a}}=(1-frac{1}{2^a})sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^a}}$

如: $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2}}=frac{pi^2}{6}Rightarrowsum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2}}=sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{(2n)^2}}+sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{(2n+1)^2}}Rightarrow(1-frac{1}{4})sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2}}=sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{(2n+1)^2}}$

所以 $sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{(2n+1)^2}}=frac{3}{4}frac{pi^2}{6}=frac{pi^2}{8}$

而：

$sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2}}=frac{pi^2}{6}$ ， $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^4}}=frac{pi^4}{90}$ ， $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^6}}=frac{pi^6}{945}$ ， $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^8}}=frac{pi^8}{9450}$