非保守系還有廣義能量一說嗎?(什麼是廣義能量?)

直接點明:廣義能量就是哈密頓量

(點明但不予以證明,看懂文章這點就很顯然了,你可以自己試試看.)

讓我們先引入能量積分和廣義能量積分的概念(不需要這段可以直接跳到符號▲處):

先直接點明三點:

i.二者都是在完整的的保守力系下引入的.(故使用保守系的方程 $[frac{partial L}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{d}{dt}frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}]$ )

ii.在i的條件下若約束是穩定的就可以推出能量積分,若約束不穩定則可以的到形式相似的廣義能量積分.(穩定即約束不顯含時間t,或笛卡爾坐標不顯含時間,即 $[{{vec{r}}_{i}}={{vec{r}}_{i}}left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},...,{{q}_{s}} ight)]$ )

iii.後面基本都會涉及到這一等式: $[sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}+frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{ddot{q}}}_{alpha }} ight)}=frac{d}{dt}T]$ ，這實際上要求 $[frac{partial T}{partial t}=0]$ .穩定約束自然不用說: $[frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}=0]$ 說明肯定不顯含時間; 至於非穩定約束雖說 $[frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t} e 0]$ ,但還是要求 $[frac{partial T}{partial t}=0]$ 才能給出廣義能量的表達式.

好的現在開始只有完整的保守力系這一條件:

先將坐標改為廣義坐標: $[{{{dot{vec{r}}}}_{i}}=sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{a}}}+frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}]$ #s為自由度數

那麼動能就可展開為下面三項:

$[egin{align} & T=sumlimits_{i=1}^{n}{frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}^{2}}=sumlimits_{i=1}^{n}{frac{1}{2}{{m}_{i}}left( sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{a}}}+frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t} ight)left( sumlimits_{eta =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{eta }}}{{{dot{q}}}_{eta }}}+frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t} ight)} \ & =sumlimits_{i=1}^{n}{frac{1}{2}{{m}_{i}}left[ sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{a}}}cdot sumlimits_{eta =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{eta }}}{{{dot{q}}}_{eta }}}+2sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{a}}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}+{{left( frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t} ight)}^{2}} ight]} \ & =sumlimits_{egin{smallmatrix} alpha =1 \ eta =1 end{smallmatrix}}^{s}{frac{1}{2}sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{eta }}}{{{dot{q}}}_{eta }}{{{dot{q}}}_{a}}}}+sumlimits_{alpha =1}^{s}{sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}{{{dot{q}}}_{a}}}}+frac{1}{2}sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{left( frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t} ight)}^{2}}} \ & =sumlimits_{egin{smallmatrix} alpha =1 \ eta =1 end{smallmatrix}}^{s}{frac{1}{2}{{a}_{alpha eta }}{{{dot{q}}}_{eta }}{{{dot{q}}}_{a}}}+sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{a}_{alpha o}}{{{dot{q}}}_{a}}}+frac{1}{2}{{a}_{oo}}={{T}_{2}}+{{T}_{1}}+{{T}_{0}} \ end{align}]$

$[{{T}_{2}},{{T}_{1}},{{T}_{0}}]$ 即分別為廣義速度的二次項,一次項和零次項.#這裡並不要求保守系

其中簡寫記號的定義: $[left{ egin{align} & {{a}_{alpha eta }}=sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{eta }}}} \ & {{a}_{alpha o}}=sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}} \ & {{a}_{oo}}=sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}} \ end{align} ight.]$

接下來對保守系的方程 $[frac{partial L}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{d}{dt}frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}]$ 做一些處理：

其中

如上面分析是廣義坐標和廣義速度和時間的函數,然而實際上後面的推導都要求不顯含時間 .

則僅僅是廣義坐標的函數,這是不難理解的,因為勢能是形容系統各個部分相互作用的函數,所以沒有外場的話將僅僅由質點系內質點的相對位置決定.

將拆開並乘上 $[{{{dot{q}}}_{alpha }}]$ 可得 $[frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}-frac{partial V}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}=frac{d}{dt}frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}]$

對等式右邊使用分部微分 $[frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}-frac{partial V}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}=frac{d}{dt}left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)-frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{ddot{q}}}_{alpha }}]$

整理後對求和 $[sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}+frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{ddot{q}}}_{alpha }} ight)}-sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial V}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}=sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{d}{dt}left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}]$

從這裡開始準備推導能量積分,故添加穩定約束這一條件:

穩定約束 $[Rightarrow frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}=0Rightarrow T={{T}_{2}}]$ 即動能是廣義速度的二次齊次函數.

這裡要清楚一個齊次函數的歐拉定理： $[{{T}_{2}}]$ 是的二次齊次函數 $[Rightarrow frac{partial {{T}_{2}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}=2{{T}_{2}}]$

#上述定理最後會給出證明

則式子 $[sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}+frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{ddot{q}}}_{alpha }} ight)}-sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial V}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}=sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{d}{dt}left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}]$

可以寫為 $[frac{d}{dt}{{T}_{2}}-frac{d}{dt}V=frac{d}{dt}sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial {{T}_{2}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}=frac{d}{dt}left( 2{{T}_{2}} ight)]$

整理得到 $[frac{d}{dt}left( {{T}_{2}}+V ight)=0Rightarrow {{T}_{2}}+V={{E}_{const}}]$ 這就是能量積分

不難看出這對應著牛頓力學的機械能守恆.

總結能量積分存在條件:穩定約束的完整保守系統(勢能不顯含時)

從這裡開始準備推導廣義能量積分,故添加非穩定約束這一條件:

非穩定約束 $[Rightarrow frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t} e 0Rightarrow T={{T}_{2}}+{{T}_{1}}+{{T}_{0}}]$

可以寫為 $[frac{d}{dt}T-frac{d}{dt}V=frac{d}{dt}sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}]$ #實際上這裡要求了不顯含

分析等號右邊: $[egin{align} & frac{d}{dt}sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}=frac{d}{dt}sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial {{T}_{2}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}+frac{d}{dt}sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial {{T}_{1}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}+frac{d}{dt}sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial {{T}_{0}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)} \ & frac{d}{dt}sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}=frac{d}{dt}left( 2{{T}_{2}} ight)+frac{d}{dt}{{T}_{1}}+0 \ end{align}]$

綜上各式得到: $[frac{d}{dt}left( {{T}_{2}}-{{T}_{0}}+V ight)=0Rightarrow {{T}_{2}}-{{T}_{0}}+V={{H}_{const}}]$ 這就是廣義能量積分

=======================

可以看出廣義能量積分只是形式上和能量積分一樣,而 $[{{T}_{2}}-{{T}_{0}}]$ 不是動量 $[{{H}_{const}}]$ 也不是能量.

廣義能量積分的存在條件:完整保守系統下是廣義速度的二次非齊次函數且不顯含 .(排除能量積分這一情況,勢能不顯含時)

那麼達到上述條件的系統大概有如下幾種情況:

i.是非穩定約束,但勻速(或勻角速度).就是說可以將坐標表達為: $[{{{vec{r}}}_{i}}={{{vec{v}}}_{0}}t+{vec{r}}left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},...,{{q}_{s}} ight)]$ 這麼一來雖然 $[frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}=const e 0]$ 但卻能同時保證 $[frac{partial T}{partial t}=0]$ 且是廣義速度的二次非齊次函數.

ii.雖然 $[{{{vec{r}}}_{i}},frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t},frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}]$ 都顯含時間, 但是有可能在 $[frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}]$ 或 $[frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}]$ 在內積求和的過程中抵消了的這種情況也能滿足上述條件.

#下面括弧內的內容是個人迷思, 請批判性的閱讀.

[對應著牛頓力學的什麼呢? 感覺上應該是取約束參考系的機械能守恆, 因為 $[{{T}_{2}}]$ 從表達式來看就知道是相對約束靜止的動參考系的動能表達式,而則是地面靜止參考系下的勢能,所以可以考慮 $[-{{T}_{0}}]$ 作為附加項看作勢能項的一部分,這兩項的和 $[{V}=-{{T}_{0}}+V]$ 或可看作動參考系下的勢能項(按照這門學科的命名風格,或該稱呼它廣義勢能?).動參考系本身具有慣性力這一附加項,所以 $[-{{T}_{0}}]$ 或看作是慣性力對應的勢能.這樣一來的話自然會有一個類似於機械能守恆的式子.也就是說廣義能量反映的是動參考系下的機械能守恆.這還算是蠻符合直覺的,因為在動參考系下,約束就是穩定約束了.你可能會說非穩定約束是勻速情況不具有慣性力,但這其實沒有產生矛盾,從定義式 $[{{T}_{0}}=frac{1}{2}sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{left( frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t} ight)}^{2}}}]$ 就可以看出來,其實這一項此時是個常數,算不算上他最後都會得到一個守恆量.]

▲下面將嘗試討論非保守系下的廣義能量的意義:

那自然就要用回基本形式的方程了,即 $[frac{d}{dt}frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}-frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}={{Q}_{alpha }}]$

$[{{Q}_{alpha }}]$ 是廣義主動力,現在將其分為保守部分和非保守部分 $[{{Q}_{alpha }}=-frac{partial V}{partial {{q}_{alpha }}}+{{{{Q}}}_{a}}]$

得到方程為 $[frac{d}{dt}frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}-frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}=-frac{partial V}{partial {{q}_{alpha }}}+{{{{Q}}}_{a}}]$ ,和前面比僅多出一項 $[{{{{Q}}}_{a}}]$

按照前面整理可以得到: $[sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{d}{dt}left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}-sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}+frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{ddot{q}}}_{alpha }} ight)}+frac{d}{dt}V=sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{{Q}}}_{a}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}]$

從這裡開始準備推導穩定約束這一條件下的能量概念:

穩定約束 $[Rightarrow frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}=0Rightarrow T={{T}_{2}}]$ 即動能是廣義速度的二次齊次函數.

則式子 $[sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{d}{dt}left( frac{partial {{T}_{2}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}-sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial {{T}_{2}}}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}+frac{partial {{T}_{2}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{ddot{q}}}_{alpha }} ight)}+frac{d}{dt}V=sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{{Q}}}_{a}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}]$

可以寫為 $[frac{d}{dt}left( 2{{T}_{2}} ight)-frac{d}{dt}{{T}_{2}}+frac{d}{dt}V=sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{{Q}}}_{a}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}Rightarrow frac{d}{dt}left( {{T}_{2}}+V ight)=sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{{Q}}}_{a}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}]$

, 我們還是默認了不顯含 (實在是覺得重要,所以每次啰嗦了一下.)

即 $[dleft( T+V ight)=sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{{Q}}}_{a}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}dt]$ 不難看出這實際上對應著牛頓力學的功能原理.

討論到整篇文章的標題了,非保守系的廣義能量:

先加入條件非穩定約束 $[Rightarrow frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t} e 0Rightarrow T={{T}_{2}}+{{T}_{1}}+{{T}_{0}}]$

則式子 $[sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{d}{dt}left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }} ight)}-sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}+frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{ddot{q}}}_{alpha }} ight)}+frac{d}{dt}V=sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{{Q}}}_{a}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}]$

可以寫為 $[frac{d}{dt}left( 2{{T}_{2}} ight)+frac{d}{dt}{{T}_{1}}-frac{d}{d}left( {{T}_{2}}+{{T}_{ ext{1}}} ext{+}{{T}_{0}} ight)+frac{d}{dt}V=sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{{Q}}}_{a}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}]$

即 $[dleft( {{T}_{2}}-{{T}_{0}}+V ight)=sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{{Q}}}_{a}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}dt]$

, 通過前面的長篇大論不難看出這是對應著動參考系下的功能原理.

關於前面說好的齊次函數的歐拉定理的證明:

若滿足式子 $[fleft( a{{x}_{1}},a{{x}_{2}},...,a{{x}_{s}} ight)={{a}^{n}}fleft( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{s}} ight)]$

則稱是 $[{{x}_{alpha }}]$ 的n次齊次函數.

對於 $[gleft( x ight)=a{{x}^{n}}]$

不難想像式子 $[frac{partial g}{partial x}=nfrac{g}{x}]$ 是成立的,當然了, $[frac{partial g}{partial x}x=ng]$ 也成立

那麼很自然的推廣到 $[fleft( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{s}} ight)]$

就有 $[sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial f}{partial {{x}_{alpha }}}{{x}_{alpha }}}=nf]$ 好的這就是著名的齊次函數的歐拉定理. .

#2019.02.01更新一個證明方法(總覺得上面那個到底有些敷衍):

齊次函數滿足條件: $[fleft( a{{x}_{1}},a{{x}_{2}},...,a{{x}_{s}} ight)={{a}^{n}}fleft( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{s}} ight)]$

式子兩邊對求導得到: $[sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial fleft( a{{x}_{1}},a{{x}_{2}},...,a{{x}_{s}} ight)}{partial a{{x}_{alpha }}}}cdot {{x}_{alpha }}=n{{a}^{n-1}}fleft( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{s}} ight)]$