如果一個正數列 { a_n }_{n=1}^{infty}>0 並且單調遞減，那麼由「數學分析」知識知道 lim_{n ightarrow + infty}a_n 必定存在。

現在如果反過來，假設正數列 { a_n }_{n=1}^{infty}>0 極限存在，那麼能否推出，從某一項 a_{N} 開始，往後的 { a_m }_{m geq N} 一定單調遞減呢？

直觀上覺得應該是對的，但是無法給出正面的證明。思考良久，突然想到如果後面不單調的項比前一項大的不是很多，並且如果也是趨於0的話，那麼結論就不成立了。於是，很快想出一個反例如下。

a_n:= left{egin{array}{ll} frac{1}{n}, ext{if} n=1,3,5,cdots, 2k+1,cdots \ frac{2}{n}, ext{if} n=2, 4 ,6,cdots, 2k+2,cdots end{array} ight.

當 n=2k+1 時， a_{n+1}-a_n= frac{2}{2k+2}-frac{1}{2k+1}=frac{2k}{(2k+2)(2k+1)}geq 0.

所以 { a_n }_{n=1}^{infty} 並非單調遞減的！

但是 a_n 可以分解為 a_n=:b_n + c_n.

b_n:= left{egin{array}{ll} frac{1}{n}, ext{if} n=1,3,5,cdots, 2k+1,cdots \ 0, ext{else} end{array} ight. ，

a_n:= left{egin{array}{ll} 0, ext{else} \ frac{2}{n}, ext{if} n=2, 4 ,6,cdots, 2k+2,cdots end{array} ight.

則有 lim_{n ightarrow + infty}a_n =lim_{n ightarrow + infty}b_n+lim_{n ightarrow + infty}c_n =0+0=0.


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