繼《線性代數》和《單變數微積分》後，「馬同學圖解」系列又迎來新的成員 ---- 《概率論與數理統計》，覆蓋浙江大學《概率與數理統計》前八章（考研範圍），下面是本課程的第二篇文章，歡迎大家試讀和購買（微信公眾號：馬同學高等數學，菜單「圖解」中購買）。

1 爭論

概率論需要回答的第一個問題就是，什麼是概率？

剛接觸這門學科的同學可能覺得難以置信，這個問題仍然存在著廣泛的爭論：

而且這個問題更像是一個哲學問題，而不是數學問題，確實也有不少哲學家參與討論。

對於概率的定義有幾個主流的派別：

  • 頻率派
  • 古典派
  • 主觀派

瞭解這些派別對於理解概率論很有幫助，下面來簡單介紹一下。

2 頻率派

首先來瞭解下頻率派，頻率派的理論基礎是對過去事實的歸納總結。

2.1 什麼是頻率？

學概率從拋硬幣開始纔是正確姿勢。我們知道硬幣是有正反兩面：

硬幣拋出之後：

得到的結果是隨機的，那麼得到正面的概率是多少呢？這裡的「概率」又指的是什麼？

我們扔100次硬幣試試：

可以看到，得到48次正面，52次反面，用正面次數除以總的次數：

P_{100}(正面)=frac{48}{100}=0.48

「P_{100}(正面) 」稱為扔100次硬幣時，正面出現的color{Salmon}{頻率} 。

2.2 頻率與概率

2.2.1 頻率穩定性

同樣的，扔n 次硬幣時如果出現了n_H 次正面，那麼：

P_{n}(正面)=frac{n_H}{n}

「P_{n}(正面) 」為此時正面出現的頻率。歷史上很多數學家都做過扔n 次硬幣的實驗：

egin{array}{c|c|c|c} hline quadquad&quad nquad&quad n_Hquad&quad P_n(正面)quad\ hline \ quad 德摩根 quad&quad 2048 quad&quad 1061 quad&quad 0.5181 quad\ quad 蒲豐 quad&quad 4040 quad&quad 2048 quad&quad 0.5069 quad\ quad 皮爾遜 quad&quad 24000 quad&quad 12012 quad&quad 0.5005 quad\ \hline end{array}

從試驗結果可見，隨著n 的增大，頻率越來越趨近於0.5。可見，雖然單次扔硬幣的結果是隨機的，但多次重複後頻率趨於穩定，這種穩定性也稱為color{Salmon}{頻率穩定性} ，反應了扔硬幣存在某種必然性。

2.2.2 定義

頻率派認為如果頻率存在穩定性，即當n oinfty 時下面極限存在，就得到了color{Salmon}{概率} （用Probability的首字母P來表示）：

P(正面)=lim_{n oinfty}P_{n}(正面)

可以自己嘗試扔一下，點一下按鈕就會模擬扔100次硬幣，看看是不是扔的次數越多，越趨於0.5（計算機模擬的，內部使用的是偽隨機，難免會有一些偏差）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

3 頻率派的缺點

通過頻率來定義概率的方法比較符合直覺，但缺陷也很明顯：

  • 首先，需要n 足夠大，但是「足夠大」這個詞很含糊
  • 其次，需要在相同條件下反覆扔硬幣，但是「相同條件」這個詞也很含糊，也很難保證，比如扔了10000次後，硬幣上沾滿汗水，那又怎麼辦？
  • 再次，永遠也不可能扔無限次硬幣，所以得到的概率始終是一個近似值
  • 最後，有些時候根本不具備反覆實驗的條件，比如火山噴發的概率應該怎麼計算？

4 古典派

接下來介紹古典派，古典派的理論基礎是不充分理由原則。

4.1 不充分理由原則

在概率論草創階段，雅各布·伯努利（1654－1705）：

就提出，如果因為無知，使得我們沒有辦法判斷哪一個結果會比另外一個結果更容易出現，那麼應該給予它們相同的概率。比如：

  • 硬幣：由於不清楚硬幣哪一面更容易出現，那麼應該給予正面、反面相同的概率，即為frac{1}{2}
  • 骰子：我們不清楚骰子哪一面更容易出現，那麼應該給予每一面相同的概率，即為frac{1}{6}

此稱為color{Salmon}{不充分理由原則} （Insufficient Reason Principle）。

4.2 古典概率

以不充分理由原則為基礎，經由拉普拉斯（皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵，1749－1827）：

之手，確立了color{Salmon}{古典概率} 的定義，即：

未知的概率都為等概率

在這之後，古典概率在整個19世紀也被人們廣泛接受，我們高中學習的概率，基本都是古典概率。

比如，有一家原木加工廠，它會把木頭切成不同的木方，木方的截面都是正方形，邊長會在1sim 3尺之間隨機浮動：

那麼根據古典概率，正方形邊長在1sim 2尺之間的概率為多少？

根據古典概率的不充分理由原則，我們沒有辦法判斷哪一種邊長更容易出現，那麼就應該給予它們相同的概率，也就是說1sim 3之間每一種長度都是等可能的。

1sim 2包含了一半的可能長度：

所以，正方形邊長在1sim 2尺之間的概率為frac{1}{2} 。

5 古典派的缺點

古典派的缺陷也是非常明顯的：

（1），古典派的概率定義，「未知的概率都是等概率」，有循環定義的嫌疑。

（2），不充分理由原則沒辦法處理非等概率的情況，假如被告知硬幣兩面是非等概率的，但是不知道是哪一面，那麼應該怎麼辦？（拉普拉斯提出還是應該按照等概率來處理）

（3），還容易產生矛盾，比如剛才練習題中提到的原木加工廠，它會把木頭切成不同的木方，木方的截面都是正方形，邊長會在1sim 3尺之間隨機浮動：

那麼根據不充分理由原則，正方形邊長在1sim 2尺之間的概率為frac{1}{2} 。

剛才的問題還可以轉為面積來解答，1sim 3尺邊長的正方形面積為1sim 9平方尺，1sim 2尺邊長的正方形面積為1sim 4平方尺：

同樣，根據不充分理由原則，1sim 9平方尺之間的正方面面積是等可能的，那麼正方形面積在1sim 4平方尺之間的概率為frac{3}{8} ：

選擇對「長度」還是對「面積」運用不充分理由原則，同一個問題會得到了不同的概率：

上述問題是color{Salmon}{伯特蘭悖論} （Bertrands paradox）簡化版，由伯特蘭在1899年出版的《概率論》中提出：

伯特蘭悖論先說在這裡，之後會有專門介紹古典派概率的章節，到時再來解決這個悖論。

6 主觀派

最後介紹下主觀派，主觀派認為概率是color{Salmon}{信念強度} （degree of belief）。

比如說，我個人相信20年後人類從網路時代進入人工智慧時代的概率為70%：

上面說的概率也就是主觀概率，是個人對這個命題的信念強度，換句話說我覺得還是很有可能實現的。

雖說是主觀概率，其實也有客觀的部分，比如剛才對人工智慧的判斷，就是基於AI的基礎設置發展、計算速度的提高等事實。

主觀概率更貼近人的思考方式，比如我們在作科學研究時，會先給出一個猜想，這就是給出了一個主觀概率。

所以在人工智慧時代，因為要模仿人的行為，主觀概率越來越受到重視：

當然主觀派缺陷也很明顯，這也是被大家接受困難的原因：

  • 說到科學，大家都認為應該是客觀的，但是偏偏主觀概率不客觀，充滿了個人偏見
  • 因為主觀，大家很難對某個主觀概率達成共識

7 小結

三個流派大概有以下的區別：

egin{array}{c|c} hline quadquad&quadcolor{orange}{頻率派}quad&quadcolor{blue}{古典派}quad&quadcolor{ForestGreen}{主觀派}quad\ hline \ quad 理論基礎 quad&quad 過往事實的歸納總結quad&quad不充分理由原則quad&quad知識和直覺quad\ quad 概率定義 quad&quad頻率穩定性quad&quad等概率quad&quad信念強度quad\ \hline end{array}

這三個流派並非涇渭分明、互不相容，反而在發展中犬牙交錯。比如要判斷火山的噴發概率，就需要總結過往數據（頻率派），再加入主觀知識（主觀派）。

為什麼概率的定義不明確？可能因為概率本身研究的就是「不明確」。


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