一個折射率均勻變化的玻璃，可以求其光路的軌跡方程嗎？
比如一束光線以角θ斜射入一個長方體玻璃中，而玻璃的折射率等於k倍的深度加一，那麼光線的軌跡方程怎麼求?
如果可以的話，請用儘可能簡單，涉及知識不太深的方法求出（最好用高中競賽生程度的知識解答）
謝邀。
這個軌跡方程就是擺線軌跡方程的形式，但不是一個擺線軌跡方程。就像橢圓的方程就是一個圓方程，但不是圓方程，參數加了一個修正項。
你可以了解下最速降線問題，它的解答用了變分法原理，高中生理解還是沒有問題的，但是不能用高中知識解答，高中沒有學習變分法。
如果你善於學習，你最好能了解一下變分法。任何一本複變函數教材第一章幾乎都會講到變分法的一個實例，最速降線問題，因為它太經典了。當然前提是你要懂得微積分相關知識。看完後，建議你再大概了解一下後面的章節，例如線性空間，賦范線性空間，完備化後的巴拿赫空間等等。對你的數學知識面能大大提升，不是很難。
當然，你把這個問題（最速降線或者變分原理）搞清了，你會發現你提到的問題根本就不是問題。因為它實在是太簡單了。
以上。
更新：2018.4.10
感覺前幾天寫的有點簡單了，今天來增加幾點注意的。
這是非變分法的通式： ,其中
為各種含有
的式子。如當
時，該軌跡為圓的一部分；
時，該軌跡為圓的擺線等等。具體是什麼，就要看偏微分方程的解了。
對於變分法，要講的實在太多，我就不啰嗦了。這裡有一篇小論文，講的非常透徹變分法上的最速降線之研究
完
b站搜索3Blue1Brown最速降線應該可以解答你的問題，有b站app的話也可以直接戳https://m.bilibili.com/video/av6385842.html
此處是令題主的入射角等於九十度，且k係數很小時的情形（出自舒幼生《物理學難題集萃》下冊p9）
更一般的，由相同的推導方法，我們有：
我提供個思路，折射率均勻變化，這是不是類似加速度呢。
然後就用類比，我去翻書
在費馬原理裡帶一個變數，不用大學的微積分就是求導到正常情況下
一條速降線軌跡，因為費馬原理:光線傳播的路徑是用時最短的路徑。有關速降線的解法，歷史上還有一段還有趣味的故事，其中伯努利便利用了費馬原理來解。感興趣可以看看https://www.zhihu.com/question/39494645/answer/112904628
我記得我高中做競賽題的時候就碰到過這題，用的是什麼，累加法？微分法？當時我是不會做的。這個問題用微積分算很簡單，自學一下吧。
推薦閱讀：
