這是一個系列文章.其他部分在文末有鏈接.

提要:本文將探討一個實際的平行板電容器的板間電場,並得到一個實用的表達式.

上一篇已經計算過平行板電容器的電場,並且討論了軸線分布.傳送門在文末.

零、回顧

在上一篇文章中,我們得出了極板為矩形的平行板電容器(下文稱為平行板電容器)的電場分布:

vec E=vec E_1+vec E_2

其中

vec E_1=frac{kQ}{ab} egin{equation}left( egin{array}{ccc} lnfrac{(XYZ_{-+-}+Y_+)(XYZ_{+--}+Y_-)}{(XYZ_{++-}+Y_+)(XYZ_{---}+Y_-)}\ lnfrac{(XYZ_{-+-}+Y_+)(XYZ_{+--}+Y_-)}{(XYZ_{++-}+Y_+)(XYZ_{---}+Y_-)}\ an ^{-1}frac{X_+ Y_+}{Z_- XYZ_{++-}}- an ^{-1}frac{X_- Y_+}{Z_- XYZ_{-+-}}- an ^{-1}frac{X_+ Y_-}{Z_- XYZ_{+--}}+ an ^{-1}frac{X_- Y_-}{Z_- XYZ_{---}} end{array} ight) \ vec E_2=-frac{kQ}{ab} left( egin{array}{ccc} lnfrac{(XYZ_{-++}+Y_+)(XYZ_{+-+}+Y_-)}{(XYZ_{+++}+Y_+)(XYZ_{--+}+Y_-)}\ lnfrac{(XYZ_{-++}+Y_+)(XYZ_{+-+}+Y_-)}{(XYZ_{+++}+Y_+)(XYZ_{--+}+Y_-)}\ an ^{-1}frac{X_+ Y_+}{Z_+ XYZ_{+++}}- an ^{-1}frac{X_- Y_+}{Z_+ XYZ_{-++}}- an ^{-1}frac{X_+ Y_-}{Z_+ XYZ_{+-+}}+ an ^{-1}frac{X_- Y_-}{Z_+XYZ_{--+}} end{array} ight) end{equation}

其中

egin{equation} egin{array}{lr} X_pm=xpmfrac{a}{2} \ Y_pm=ypmfrac{b}{2}\ Z_pm=zpmfrac{d}2\ XYZ_{pmpmpm}=sqrt{X_pm^2+Y_pm^2+ Z_pm^2}\ end{array} end{equation}

這就是平行板電容器電場的完整形式.

我們還計算了它的軸線分布:

E_z=-frac{4k Q}{a b} left( an ^{-1}frac{a b}{4Z_-sqrt{frac{a^2}4+frac{b^2}4+ Z_-^2}}+ an ^{-1}frac{a b}{4Z_+sqrt{frac{a^2}4+frac{b^2}4+ Z_+^2}} ight) (1)

另外研究了板間電場的大小隨板間距的變化及其成因.

以上是對上一篇文章的回顧.

一、一個真實電容器

這麼說,在高中時期我們算過的所有電容的電場,是一個相當優秀的近似(因為實際上電容兩板並不會相距一米),這並沒有太大問題.

(但是至於什麼帶電粒子的偏轉那些題(板距動輒一兩米),我就只能說"這就是高考而已"了吧.)

首先,我們回顧一下高中學過的關於電容的內容.

首先,在高中就學過:

C=frac{S}{4pi kd}=frac{Q}{U}

這是平行板電容器的電容表達式.假定兩板之間是勻強電場,那麼

U=Ed

代入上式,得到

E=frac{4pi kQ}{S}~~~~~(3-1)

我們可以將這條式子和我們得到的這個毫無近似的表達式統一起來.

上一篇文章中已經說明過,當 d ightarrow0 時,板間是勻強電場.所以我們取這個極限應該就能得到(3-1)式.

好的,先不急著直接取極限,我們先算算特殊情況.

設定 a=3m,b=2m,d=0.01m,Q=10^{-9}C,那麼按照公式,產生的電場強度應該是

E=frac{4pi kQ}{ab}={6pi}V·m^{-1}=18.84956V·m^{-1}

如果用我們導出的式子來計算,不出意外的話,結果應當是和它一致的.

我們這裡做一些變化,因為已經相當於勻強電場,所以取板之間軸線上任意一點的電場強度都可以代表整個電場,所以不妨取 z=0 ,代入原式得到(已取絕對值):

E=frac{8k Q}{a b} an ^{-1}frac{a b}{dsqrt{a^2+b^2+ d^2}}~~~~~(3-2)

代入數值計算得

E=18.77745V·m^{-1}

非常接近,誤差為

delta=frac{18.84956-18.77745}{18.77745} imes100\% =0.38\%

這已經相當精確了.這說明這兩條式子,在板間距幾乎為0時,是一樣的.這已經是反覆強調過的了.

現在我們來計算一般情況,也就是取剛才說的極限.令 d ightarrow0 ,得到

E=frac{8k Q}{a b} lim_{d ightarrow 0}left( an ^{-1}frac{a b}{dsqrt{a^2+b^2+ d^2}} ight)

注意到(3-1)式:

E=frac{4pi kQ}{S}=frac{4pi kQ}{ab}=frac{8kQ}{ab}frac{pi}{2}

如果兩式等價,則必有

lim_{d ightarrow 0}left( an ^{-1}frac{a b}{dsqrt{a^2+b^2+ d^2}} ight)=frac{pi}{2}

所以我們現在的目標就是證明上式.

顯然,當 d ightarrow0 時,

frac{a b}{dsqrt{a^2+b^2+ d^2}} ightarrowinfty

令 t=frac{a b}{dsqrt{a^2+b^2+ d^2}} ,則原極限化為 lim_{t ightarrow infty} an ^{-1}t .

顯然, lim_{t ightarrow infty} an ^{-1}t=fracpi 2 .

所以

lim_{d ightarrow 0}left( an ^{-1}frac{a b}{dsqrt{a^2+b^2+ d^2}} ight)=frac{pi}{2}

代入原式得

E=frac{4pi kQ}{ab}

完畢.

這樣就完成了和我們學過的這條計算式的統一.

要計算平行板電容器的電容量,只需要再將上式代入 C=frac{Q}{Ed} 即可.

Part03結束.

傳送門:

自行加聚：從均勻帶電矩形平板到平行板電容器-目錄?

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