GBDT演算法用于分类问题

GBDT演算法概述

GBDT是boosting演算法的一种，按照boosting的思想，在GBDT演算法的每一步，用一棵决策树去拟合当前学习器的残差，获得一个新的弱学习器。将这每一步的决策树组合起来，就得到了一个强学习器。

具体来说，假设有训练样本 ，第m-1步获得的集成学习器为 ，那么GBDT通过下面的递推式，获得一个新的弱学习器 ：

其中 是在函数空间 上最小化损失函数，一般来说这是比较难以做到的。但是，如果我们只考虑精确地拟合训练数据的话，可以将损失函数 看作向量 上的函数。这样在第m-1轮迭代之后，向量位于 ，如果我们想进一步减小损失函数，则根据梯度下降法，向量移动的方向应为损失函数的负梯度方向，即：

这样如果使用训练集： 去训练一棵树的话，就相当于朝著损失函数减小的方向又走了一步（当然在实际应用中需要shrinkage，也就是考虑学习率）。由此可见，GBDT在本质上还是梯度下降法，每一步通过学习一棵拟合负梯度（也就是所谓「残差」）的树，来使损失函数逐渐减小。

GBDT用于分类问题

将GBDT应用于回归问题，相对来说比较容易理解。因为回归问题的损失函数一般为平方差损失函数，这时的残差，恰好等于预测值与实际值之间的差值。每次拿一棵决策树去拟合这个差值，使得残差越来越小，这个过程还是比较intuitive的。而将GBDT用于分类问题，则显得不那么显而易见。下面我们就通过一个简单的二分类问题，去看看GBDT究竟是如何学习到一棵树的。

类似于逻辑回归、FM模型用于分类问题，其实是在用一个线性模型或者包含交叉项的非线性模型，去拟合所谓的对数几率 。而GBDT也是一样，只是用一系列的梯度提升树去拟合这个对数几率，实际上最终得到的是一系列CART回归树。其分类模型可以表达为：

其中 就是学习到的决策树。

清楚了这一点之后，我们便可以参考逻辑回归，单样本 的损失函数可以表达为交叉熵：

假设第k步迭代之后当前学习器为 ，将 的表达式带入之后， 可将损失函数写为：

可以求得损失函数相对于当前学习器的负梯度为：

可以看到，同回归问题很类似，下一棵决策树的训练样本为： ，其所需要拟合的残差为真实标签与预测概率之差。于是便有下面GBDT应用于二分类的演算法：

• ，其中 是训练样本中y=1的比例，利用先验信息来初始化学习器
• For ：
• 计算 ，并使用训练集 训练一棵回归树 ，其中
• 通过一维最小化损失函数找到树的最优权重：
• 考虑shrinkage，可得这一轮迭代之后的学习器 ， 为学习率
• 得到最终学习器为：

以上就是将GBDT应用于二分类问题的演算法流程。类似地，对于多分类问题，则需要考虑以下softmax模型：

其中 是 个不同的tree ensemble。每一轮的训练实际上是训练了 棵树去拟合softmax的每一个分支模型的负梯度。softmax模型的单样本损失函数为：

这里的 是样本label在k个类别上作one-hot编码之后的取值，只有一维为1，其余都是0。由以上表达式不难推导：

可见，这k棵树同样是拟合了样本的真实标签与预测概率之差，与二分类的过程非常类似。

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