NBA常規賽已經進入後半程，激烈的季後賽馬上就要上演，除了良好的團隊戰術能力和個人能力之外，良好的罰球有時能幫助球隊取得關鍵時刻的勝利（尤其是針對罰球不好球員的“砍人”戰術），那麼完美罰球背後有怎麼樣的數學邏輯那？

　　大約20年前，我和我的同事Dr. Chau Tran開發了一種在計算機上模擬數百萬籃球軌跡的方法。

　　我們去向所在地北卡羅來納州立大學（North Carolina State University）的教練和助理教練尋求幫助，並告訴他們我們有非常仔細地研究籃球投籃的不同尋常的能力。

　　他們的第一個問題很簡單：“什麼是最好的罰球？”射手應該瞄準籃筐的前部還是後部？射手是高是矮對此有影響嗎？

　　數學提供了獨特的視角。它加快了查看最佳投籃背後的模式的時間。大多數情況下，我們發現的事情是球員和教練員已經知道的——但每隔一段時間，我們都會有新的見解。

　　模擬數百萬次的投籃

　　從數學的角度來看，籃球是一個軌跡遊戲。這些軌跡的獨特之處在於，當球在空中飛行時球的運動沒有多大變化，但當球與籃筐或籃板碰撞時，球的運動在毫秒內快速發生變化。

　　爲了模擬數百萬的軌跡而不致使代碼運行過長的時間，我們嘗試了任何我們能想到的技巧。我們解決了如何從適度變化的運動轉變爲快速變化的運動，例如當球在籃筐或籃板上彈起時。我們學會了如何將大量的軌跡轉化爲統計概率。我們甚至創造了虛構的軌跡，其中球奇蹟般地穿過除一個以外的所有物理障礙物（籃筐，籃板，背板），藉此我們可查看它首先碰撞的位置。

　　罰球是我和我同事詳細研究的第一種投籃。在膠着的比賽中，球隊可以在罰球線上定輸贏。更重要的是，罰球是無可爭議的，所以在罰球上的完美變現可以帶來巨大的回報。頂級球隊往往罰球表現良好。

　　我們的項目可以告訴我們球員在罰球時有什麼機會——並幫助我們弄清他正在做的是正確還是錯誤的。

　　劃分以便分析罰球

　　我們研究了大約五年的罰球。

　　我們通過模擬和觀看電視鏡頭獲得的第一件事情是，具有相同穩定性的球員能夠以75％至90％的準確率投出罰球。不同的是，90％的球員在正確的投籃中保持一致——即最好的軌跡。

　　一個罰球的命運在球離開球員指尖的瞬間就已經註定了，所以我們仔細觀察了球的“投射條件”。球位於地面以上的某個高度。它有一個向後旋轉的速度（稱爲迴旋），並且有一個投射速度和一個投射角度。由於球員永遠不會以同樣的方式投籃，所以小的差異就決定了球員的穩定性。

　　我們發現約3赫茲的迴旋是最好的，超過此並不會起促進作用。球到達籃筐大約需要1秒的時間，所以3赫茲相當於從球離開球員雙手到球抵達籃筐時在空中旋轉了三次。

　　接下來，假設球員在距離地面7英尺處投球，約52度的投射角度是最好的。在那個角度，投射速度是最低的，並且投射成功率是最高的。在52度時，球員對角度的增加或減小不會對投籃的成功產生巨大影響。

　　然而，投射速度恰恰相反。這是球員要控制的最難的變量。太慢地投球，射程會很短；太快地投球，射程會很長。球員需要在投球的過程中記住整個身體的運動，以始終如一地用相同速度投射球。

　　在其它條件相同的情況下，從更高位置投球的球員有更高的投籃命中率。這很有趣，因爲我們在北卡羅來納州立大學（N.C. State）的教練以及曾經和我交談過的其他人說，較高的球員往往比矮個球員的罰球更差。似乎矮個球員必須更努力。

　　最後的投射條件是最令人驚訝的：罰球的瞄準點。我們發現球員應該將球對準籃筐後部。基本上，籃筐的後部比籃筐的前部更寬大。在7英尺的投籃高度處，球與籃筐後部之間的間隙應小於2英寸。不論是在低高度還是在高高度投射，小間隙都是最好的。

　　得到的結論

　　那麼這對於那些希望改善罰球的球員來說意味着什麼呢？

　　我們的研究表明，球員應該把球瞄準籃筐的中心以外。儘可能以高角度發射球並且離地面越高越好。（球在弧線的最高點應該到達籃板的頂部。）把球對齊以消除側角。並嘗試以平穩的身體動作投射球，以產生一致的投射速度。

　　在過去的幾年裏，我們擴展了我們的工作，以研究最好的打板投籃撞擊籃板的位置，併爲想要完善它的人開發了一種工具。

　　隨着錦標賽的臨近，我想到了球賽激烈的競爭性，以及它是如何真正成爲一個關於英寸的比賽的。作爲一名老球員，和許多人一樣，我喜歡看比賽，並且每隔一段時間都會看到一次完美的罰球。

　　本文最初發表於The Conversation。

　　關於作者

　　Larry Silverberg

　　Larry Silverberg是北卡羅來納州立大學機械與航空工程系（Mechanical and Aerospace Engineering, North Carolina State University）教授。

　　來源：環球科學