我們之前的課程接觸最多的是模擬頻率f，包括在模擬電路、高頻電路以及感測器課程上，都是以f作為頻率響應函數的橫坐標。使用f的好處是其真實反映了實際系統的工作情況，從0到∞，反映了實際模擬信號振蕩速度的快慢。

模擬角頻率Ω=2πf，過去我們常將ω作為模擬角頻率，寫成cos(ωt)，這種寫法實際上是不正確的，應該寫成cos(Ωt)來描述模擬餘弦函數。此時Ω的取值也是從0到∞，這體現出模擬（角）頻率沒有周期性的特點。

數字角頻率ω則是完全顛覆了我們過往對於頻率的認識，首先要明確的是數字信號的獲得是通過對模擬信號採樣的方式。它的引入可以從cos(Ωt)開始。cos(Ωt)中相位變化一個週期(2π)所需的時間為T，那麼模擬角頻率定義成Ω=2π/T。對於該餘弦信號，採樣之後變成了一個離散的數字序列，此時再談論過了多少時間走完一個週期已經沒有意義，而是過了間隔N相位剛好變化一個週期。因此數字角頻率推導出為ω=2π/N，餘弦信號則為cos(ωn)。既然N是由對應一段時間T採樣而來，那麼N=T*Fs (Fs為採樣率)，自然而然，ω=Ω/Fs。簡單來說，數字角頻率ω是模擬角頻率Ω對於採樣率Fs的歸一化，這是數字角頻率ω的核心要義。 由於數字信號是通過抽樣而來，意味著只有在短暫的採樣窗口時間才能看到模擬信號的取值，而其他情況下則是看不見的。我們將任意離散信號表示為複數 ，可以看出該信號對於ω具有周期性，且週期為2π。這意味著數字角頻率相較於模擬角頻率而言，具有2π週期性。

e.g. Fs=1Hz，Ω分別等於π/8和π/17，得到如下兩幅圖。可以看出雖然模擬角頻率Ω增加了2π，但由於採樣點數和採樣值都相同，所以實際的離散信號是一回事。

正是因為數字信號對於ω具有周期性，DSP才增加了額外的很多考慮：

1）DTFT、DFT是將數字信號從時間域n轉為頻域ω，因此我們只轉為ω在[-π,π]區間內復指數信號的疊加。（也可以考慮[0,2π]，不過由於ω=0和2π是低頻信號，ω=π是高頻信號，考慮[-π,π]更接近模擬信號的頻譜分佈）

2）我們根據ω=Ω/Fs可知，從模擬角頻率到數字角頻率不只會落在[-π,π]，若轉為數字頻譜後其頻帶佔用超過了[-π,π]，則由於具有周期性，相互之間會產生混疊。我們要把頻譜ω限定在[-π,π]，則， , 。這就是Nyquist採樣定理，過往我們是在模擬頻域內，考慮採樣信號的模擬頻譜，以及如何通過頻域卷積實現信號模擬頻譜搬移而不發生混疊，此時我們通過對數字頻域的分析也可以得到相同的結論。

3）第2點也成為我們在下採樣的時候需要注意的問題，必須要保證下採樣後的等效採樣頻率滿足Nyquist採樣定理，否則下採樣後的信號會產生混疊。

4）在運用頻域採樣法設計IIR時，我們基於的AD/DA轉換就是上述的ω=Ω/Fs（雙線性變化法則不是）。上述說到模擬角頻率Ω是沒有周期性可言的，但是由於採樣率的限制(離散化)，導致說數字角頻率ω具有周期性。從映射角度理解，數字角頻率[-π,π]在模擬角頻率上的映射是一對多的。採樣間隔T=1/Fs，在給定T時，數字角頻率ω受到的影響來源於以2π/T為單位的模擬角頻率Ω（Ω=ω/T）。為了使數字頻域不發生混疊，我們需要將模擬角頻率Ω框在[-π/T,π/T]，這在設計高通/帶阻數字濾波器時是複雜的，如下圖展示的用頻域採樣法設計高通FIR時所需要增加的裁剪步驟。

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