卷積、互相關與自相關

首先從向量的乘法講起，假設有個a向量和b向量，

$a=(x_{1},x_{2},x_{3}); b=(y_{1},y_{2},y_{1});$

那麼這兩個向量的點積或者乘積可以寫為

$a*b==x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{2}=sum_{i}^{n}{a_{i}}b_{i}$

希望你對上面這行還有印象。對於向量的意義，如果你要探究幾何意義的話，我覺的只有當a或者b是單位向量

的時候纔有意義，就是所謂的投影。向量的誕生是來解決實際問題的，用來解決的最直接的一個問題是力的做功：

;只有距離在力的方向上的投影的那一部分才能產生作用，如果 F 和 s 是垂直也就是正交的，那麼久沒有做功，沒有work，沒發揮作用。

下面我們開始討論一下函數，首先試想一下，函數是什麼？函數的定義域是不是可以看做是向量坐標中的維度 i ，而值域就是向量每個坐標對應的值，也就是說函數可以看成一個維度無限大的向量。假設有個兩個函數和，同時它們也可以看成是兩個向量和，那那麼這兩個向量的乘積要怎麼寫？注意看上面向量乘積最後使用的求和符號。

函數向量的乘積就是常說的函數點積，可以寫為：

$<f(x),g(x)> =int_{-infty}^{+infty}f(x)g(x)dx$

現在應該理解，從-inf 到 +inf 的積分不過是一個兩個函數向量的點積而已。函數點積的意義是什麼呢，可以完全從向量點積的意義照搬啊，就是變力變位移的做功啊，就是做功啊做功啊Work啊。

卷積

鋪墊完畢，進入正題，首先我們把卷積的公式拉過來

$(f*g)((t)=int_{-infty}^{+infty}f( au)g(t- au)d au =int_{-infty}^{+infty}f(t- au)g( au)=int_{-infty}^{+infty}f( au)g(-( au-t))d au$

看最右邊的一項，就是和被平移t之後的點積，點積就是向量乘積就是做功就是work就是有什麼作用，就是力F和在F方向上的s的乘積。那麼這裡有兩個問題：1 為什麼要把好好的變成特麼的g ? 2 為什麼平移t？

為了便於理解，我們用信號與系統中的信號函數和系統函數，當一個系統收到一個外界刺激時，肯定會產生一定的反應，在術語裏叫響應，也可以看做信號對系統做的功。那麼這個響應是多少呢？先把公式寫出來

$(h*s)((t)=int_{-infty}^{+infty}h( au)s(t- au)d au =int_{-infty}^{+infty}h(t- au)s( au)=int_{-infty}^{+infty}h( au)s(-( au-t))d au$

這裡變成了並且平移了t，也就是先將對稱到相反方向以後再做平移，假設有一段時域離散信號在t = 0,1,2,3,4 時，s(t)={a-b-c-d-e}，假設系統函數為 h(t)={h-i-j-k-l}。發送信號以後的t時刻，與h(t)碰頭的是誰？是s(0)！而這時候s(t）才剛剛和h(0)碰頭！就是把s(t)翻轉0時間軸的負半部分，然後再慢慢滑動過來。在滑動過程中，每一個t對應一個該時刻，信號已經對系統做了多少功，也就是產生多少響應，順便提一句，功是過程量，不是瞬時量，做功需要過程，信號對系統的產生的響應也需要過程。