令fn為閉區間[a,b]上的非負連續函數序列，如果其積分平均收斂（即fn在[a,b]上的面積收斂），求證其一致收斂。

如果將條件換成fn在閉區間上有界但不一定連續呢，謝謝！

不是，一個非常簡單的反例如下： f_n(x)=x^n ,

於是 int_0^1 |f_n(x)|dx=frac{1}{n+1} o 0quad .

也就是函數 f_n 平均收斂到0。但是這個函數顯然不一致收斂到0。這個問題別說一致收斂，逐點收斂也做不到。

如果是有界非連續的，你可以構造出一個函數列 f_n 使得其平均收斂，但是在每個點不收斂。

對於任意正整數 k, 我們定義

varphi^{(k)}_i(x)=egin{cases}1 quad xin [frac{i-1}{k},frac{i}{k}]\ 0 quad x otin [frac{i-1}{k},frac{i}{k}]end{cases} .

我們取 f_1(x)=varphi_1^{(1)}, f_2=varphi^{(2)}_1 , f_3=varphi^{(2)}_2 , f_4=varphi^{(3)}_1 ....

顯然， f_n 平均收斂到0，但是對於任意 xin [0,1] , f_n(x) 並不能收斂到0.

首先第一問就是不成立的， 比如 a = 0, b=1, f_n=nx-n+1 xin [1-1/n,1], f_n=0 o.w. 首先 f_n 是非負連續的，其次積分趨於0，然而並非一直收斂，因為 limsup f_n =1 。

題中所說的積分平均收斂，收斂函數為f=0

推薦閱讀：
查看原文 >>
相關文章