#此文目的是建立對拉格朗日方程的直觀理解.

#此文犧牲了部分嚴謹性換取了儘可能地通俗連貫性(不這樣的話就沒意義了,不如看書呢).

#此文是作者寫給自己看的,So No Judge.

Before everything, 我們先給出基本形式的拉格朗日方程[frac{d}{dt}left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}} ight)-frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}={{Q}_{alpha }} {{ }_{left( alpha =0,1,2,cdot cdot cdot ,s ight)}}]

其中T是體系動能,Q是廣義力,是廣義坐標,s是自由度數.

一般我們所說的拉格朗日方程更多是指保守力系的拉格朗日方程:

[frac{partial L}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{d}{dt}left( frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}} ight) {{ }_{left( alpha =0,1,2,cdot cdot cdot ,s ight)}}]

其中L為拉格朗日函數,是動能減去勢能,即L=T-V .

#這個方程可以直接從最小作用量原理(哈密頓原理)得到,其他文章會給出推導.

初次見到這個方程是令人震撼的,在接觸分析力學之前我們印象中的力學其實都是同一類,即牛頓力學或者說矢量力學.印象中力學題目最重要的就是受力分析,然後就是解微分方程.但是這個方程的出現意味著在力學中力並不是什麼必要的概念.最基礎的概念應該是坐標和動量.據此可以完全不需要受力分析就能直接通過解微分方程計算出物體的運動軌跡函數 [{{{vec{r}}}_{i}}={{{vec{r}}}_{i}}left( t ight)] ,事實上這就是力學的核心目的:預測系統的演化.

不需要受力分析給力學帶來的意義是巨大的,因為牛頓力學在處理多體問題的時候是如此的無力.那麼這個有些欽定意味的方程是怎麼來的呢?可以直接從哈密頓原理的到,也可以從牛頓方程推演,看過牛頓定律的到這個方程的過程的話,你就會發現,這一切都是如此自然、平凡.

在牛頓定律作為已知基本原理的前提下,我們可以從達朗貝爾原理與虛功原理的結合得到拉格朗日方程.

自然的就要先從虛功原理講起了.首先要注意到虛功原理是分析靜力學的重要原理,所以後面都是受力平衡的情況.

先要了解虛位移是個什麼概念,虛位移記作 [delta vec{r}],這和位置矢量的微分,位移 [dvec{r}] 很像.可以說虛位移是位置矢量的變分,變分運演算法則暫且可以理解為和微分運算一摸一樣,不過要把d改成δ.虛位移 [delta vec{r}] 實際上可以當作是某一時刻發生的微小擾動,這是靜力學,系統都是靜止的.不會發生真正的位移,所以這個擾動叫做虛位移.你也可以說是假想的一個位移,它是一個純幾何概念.然後這個位移也不是隨便發生的,他必須是在相應約束條件下允許發生的位移.比如說約束條件是一個曲面,那麼虛位移就只能是沿著這個曲面的,可以是沿著任何方向,它不唯一.在穩定約束下實際位移就是虛位移中的一個,這樣看來虛位移就是所有在相應約束條件下允許發生的位移的集合中的一個元素.最後應該指出的是虛位移是某一時刻發生的,也就是 [delta t=0] ,而實際位移 [dvec{r}] 的發生需要時間 [dt e 0] .

接下來指出一點,我們研究的問題都是在理想約束下的,理想約束的定義是: [sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{R}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}=0}] 其中R是約束力(即約束力在虛位移上做功為零).如何判斷是不是理想約束呢?一般來說只要沒有摩擦力就是理想約束了(光滑接觸面約束、光滑鉸鏈、槓桿或繩子鐵鏈連接之類).

#虛功原理推導如下,很重要,因為實際上這就是拉格朗日方程(特例)的推導:

靜止或勻速運動說明受力平衡即 [{{{vec{F}}}_{i}}+{{{vec{R}}}_{i}}=0] 其中F為主動力,R為約束力.

兩邊乘上虛位移得到 [{{{vec{F}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}+{{{vec{R}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}=0] 其中虛位移是任意的

因為是理想約束所以有[sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}=0}]即主動力在虛位移上做總功為零

我們將[sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}}]定義為虛功,記作 [delta W]

所以虛功原理就是 [delta W=0] (不難看出其本質是受力平衡)

解決靜力學問題就是通過解方程[sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}=0}] 來獲得系統內各個質點的坐標.

但這個並不能求解....因為有約束條件,所以各個坐標 [{{{vec{r}}}_{i}}] 之間的關係錯綜複雜,也就是說不是獨立的,無法求解.我想這就是牛頓力學需要受力分析的根源了,所以牛頓力學中約束越多方程越多反而越難以求解了.而在分析力學中約束多算是個好事,因為這樣系統的自由度就少了.系統的自由度s是三倍質點數目n減去約束的個數k即:[s=3n-k] ,簡單來說自由度就是確定這個系統的態所需要的相互獨立的廣義坐標的數目,沒有約束的時候每個質點都有x,y,z三個坐標,所以需要3n個坐標才能卻定這個系統的態(即各個質點的位置),而增加一個約束就會減少一個自由度是顯然的,因為其中一個坐標可以通過該方程由其他坐標表示,即一個方程可以解決一個未知數.而之所以稱作廣義坐標,是因為這個表徵系統狀態的坐標不再是傳統的坐標系下的點了,它可以是角度或其它物理量,面積,體積,甚至電極化強度...現在我們將廣義坐標都記作 [{{q}_{alpha }}{{ }_{left( alpha =0,1,2,cdot cdot cdot ,s ight)}}].

現在我們選定了s個廣義坐標,它們可以確定這個系統,那麼傳統坐標就是廣義坐標的函數即: [{{{vec{r}}}_{i}}={{{vec{r}}}_{i}}left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},...,{{q}_{s}},t ight)] [Rightarrow delta {{{vec{r}}}_{i}}=sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}delta {{q}_{alpha }}}+frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial t}delta t=sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}delta {{q}_{alpha }}}] (δt=0)

帶入[sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}=0}]得到 [sumlimits_{i=1}^{n}{sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}delta {{q}_{alpha }}}=0}] [Rightarrow sumlimits_{alpha =1}^{s}{left[ sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}} ight]delta {{q}_{alpha }}}=0]

可以記作 [sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{Q}_{alpha }}delta {{q}_{alpha }}}=0] 其中 [{{Q}_{alpha }} ext{=}sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}}] 稱作廣義力.

現在好了,s 個廣義坐標都是相互獨立的,而 [delta {{q}_{alpha }}]又都是任意的.

所以上面那個方程的成立只可能是: [{{Q}_{alpha }}=sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}}= ext{0}]

這樣的方程一共有α 個,剛好可以解決問題.

實際上這個方程就是拉格朗日方程了(動能恆為零的特例).

#關於虛功原理的一點迷思:[delta W=0]實際上可以看作 [delta W=frac{partial W}{partial {{{vec{r}}}_{i}}}cdot delta {{vec{r}}_{i}}=0] 這像是一階導數為零,一個坐標的微小變動造成的的能量的改變數 [delta W]為0,也就是原有的坐標使得能量取得極值了,日常經驗告訴我們能量越低越穩定,力的作用下最後穩定下來的態一定使得能量取極小值.反觀式子 [sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}=0}] 可以看出,虛功原理要求的其實是假如再發生任何可能的變動也不會再做功了,這是處理靜力學問題,系統本身不具備動能,如果發生任何擾動都不會有外力做功也就不可能產生動能,系統自然就不會動了,也就是穩定了.

這其實有點哈密頓原理的意味了(its all about extremum).

接下來就是介紹達朗貝爾原理了:

我們從老朋友牛頓定律出發: [{{{vec{F}}}_{i}}+{{{vec{R}}}_{i}}=m{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}]

現在將它變形: [{{{vec{F}}}_{i}}+{{{vec{R}}}_{i}}-m{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}=0]

是否覺得上述變形很trivial ? 數學上也許是吧,這稱作移項.但是在物理上這個過程很不一般,我一開始學習虛功原理的時候就覺得了,這個虛功原理就是遜啦,只能解決靜力學問題,再巧妙也難以撼動牛頓力學吧.但是就是這個變形,它改變了力學.這個變形的意思實際上就是,選定了這個質點作為參考系,這是一個非慣性系所以減去的那一項其實就是所謂的慣性力,那麼這麼一來動力學問題就巧妙地轉化為靜力學問題了.

所以從這一刻開始,又可以重複靜力學的套路--虛功原理了.

兩邊乘上虛位移得到 [{{{vec{F}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}+{{{vec{R}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}-{{m}_{i}}{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}=0] 其中虛位移是任意的

因為是理想約束所以有[sumlimits_{i=1}^{n}{{{{vec{F}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}}-sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}cdot delta {{{vec{r}}}_{i}}}=0]

上面就是達朗貝爾原理

前面說是選 [{{m}_{i}}]做參考系,現在求和了豈不亂套?現在就是選質心做參考系了嘛...

#下面開始就是推導拉格朗日方程了:

例の[delta {{{vec{r}}}_{i}}=sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}delta {{q}_{alpha }}}] 帶入上式得到: [sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{Q}_{alpha }}delta {{q}_{alpha }}}-sumlimits_{alpha =1}^{s}{left[ sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}} ight]delta {{q}_{alpha }}}=0]

現在記 [{{P}_{alpha }} ext{=}sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}}] ,我們也先專註處理這一塊.

[{{P}_{alpha }}=sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}}=frac{d}{dt}left[ sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}} ight]-sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{d}{dt}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}}]

這是一個分部積分...分部微分吧.

顯然有[frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}] 與 [frac{d}{dt}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}] (hhh不顯然,後面會證明,這裡直接當結論比較連貫.)

所以 [{{P}_{alpha }}=frac{d}{dt}left[ sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}} ight]-sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}}]

不難得到: [egin{align} & frac{partial }{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}T=frac{partial }{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}left( sumlimits_{i=1}^{n}{frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}^{2}} ight)=sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}} \ & frac{partial }{partial {{q}_{alpha }}}T=frac{partial }{partial {{q}_{alpha }}}left( sumlimits_{i=1}^{n}{frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}^{2}} ight)=sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{dot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}} \ end{align}] 其中T 是系統動能

所以 [{{P}_{alpha }}=frac{d}{dt}frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}-frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}]

終於,我們結合 [left{ egin{align} & sumlimits_{alpha =1}^{s}{{{Q}_{alpha }}delta {{q}_{alpha }}}-sumlimits_{alpha =1}^{s}{left[ sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}} ight]delta {{q}_{alpha }}}=0 \ & {{P}_{alpha }} ext{=}sumlimits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}cdot frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}} \ & {{P}_{alpha }}=frac{d}{dt}frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}-frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}} \ end{align} ight.]

得到了 [sumlimits_{alpha =1}^{s}{left( {{Q}_{alpha }}-frac{d}{dt}frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}+frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}} ight)delta {{q}_{alpha }}}=0]

現在好了,s 個廣義坐標都是相互獨立的,而 [delta {{q}_{alpha }}]又都是任意的.

所以上面那個方程的成立只可能是: [{{Q}_{alpha }}-frac{d}{dt}frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}+frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}=0]

基本形式的拉格朗日方程[frac{d}{dt}left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}} ight)-frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}={{Q}_{alpha }} {{ }_{left( alpha =0,1,2,cdot cdot cdot ,s ight)}}]

接下來:

歷史遺留問題:[frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}] 與 [frac{d}{dt}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}]

第一個是顯然的, [d{{{vec{r}}}_{i}}=sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}d{{q}_{alpha }}}Rightarrow dot{vec{r}}=sumlimits_{alpha =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}+frac{partial vec{r}}{partial t}Rightarrow frac{partial {{{dot{vec{r}}}}_{i}}}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}=frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}]

這是偏導數的其中一個求法.

至於第二個 :[frac{d}{dt}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}=sumlimits_{eta =1}^{s}{frac{partial }{partial {{q}_{eta }}}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{eta }}}+frac{partial }{partial t}frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{partial }{partial {{q}_{alpha }}}left( sumlimits_{eta =1}^{s}{frac{partial {{{vec{r}}}_{i}}}{partial {{q}_{eta }}}{{{dot{q}}}_{eta }}}+frac{partial vec{r}}{partial t} ight)=frac{partial dot{vec{r}}}{partial {{q}_{alpha }}}]

這是一元函數的複合函數求全導數的鏈導法.

終於結束了,

不難看出 [frac{d}{dt}left( frac{partial T}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}} ight)-frac{partial T}{partial {{q}_{alpha }}}={{Q}_{alpha }} {{ }_{left( alpha =0,1,2,cdot cdot cdot ,s ight)}}] 的根源其實是[{{{vec{F}}}_{i}}+{{{vec{R}}}_{i}}-m{{{ddot{vec{r}}}}_{i}}=0]

所以實際上這是從一個很平凡的方程導出來的方程,中間會涉及一些技巧,但本質還是很純粹的.

比較虛功原理的推導與拉格朗日方程的推導,不難發現虛功原理就是拉格朗日方程,不過是屬於動能恆為零的一個特例.所以每次使用虛功原理你就推導了一次特殊的拉格朗日方程.

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