大家好，我是韋心，有同學反饋我圓錐曲線部分有沒有什麼小技巧，在此更新一個很早就有的想法，之後一個月我講繼續寄宿學校，評論不一定及時回復，還請大家多多包涵。

在解析幾何的解題之中，通常的方法是聯立解析式求解，不如我們再次從一個新的角度——平面幾何來看解析幾何，是否之前的一些題目能有更為簡單的方法呢？

再此先通過一道例題來討論此類問題的解法：

例1：如圖，過拋物線 y^2=4x 的焦點 F 作直線與拋物線及其準線分別交於 A,B,C 三點，若 overrightarrow{FC} = 4 overrightarrow{FB} ，則 |overrightarrow{AB} |= __________．

解：拋物線y^2=4x的準線為直線 x=-1 ，

作直線 BBot直線x=-1 ，

由拋物線定義得： |BB|=|BF| .

因為 overrightarrow{FC} = 4 overrightarrow{FB} Rightarrow|BC|=3|BF|=3|BB|,

因為 k_{AB}=tan heta 。 cos heta=frac{|BB|}{|BC|}=frac{1}{3}Rightarrow sin^2 heta=1-cos^2 heta=frac{8}{9} .

由焦點弦長公式得： |AB|=frac{2p}{sin^2 heta}=frac{9}{2} .

在上面例1的解答中，我們應用到了 k=tan heta ，之後根據傾斜角 heta 在圖中的特殊幾何關係進行之後的解答工程，下面我們先給出來傾斜角 heta 在解析幾何中的幾個基本應用：

一、圓錐曲線的統一極坐標方程： |FA|=frac{ep}{1-ecos heta} 、 |AB|=frac{2ep}{1-e^2cos^2 heta} 。

其中 F 為圓錐曲線任一焦點，直線 AB 為過焦點的弦， heta 為該直線傾斜角， e 為離心率， p 是焦參數，在橢圓和雙曲線中， p=frac{b^2}{c} 。

Dylaaan：【解析幾何】極坐標方法的騷操作?

zhuanlan.zhihu.com圖標

二、到角公式： tan heta=|frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}| 。

三、兩個小結論：

若弦 AB 所在直線l過圓錐曲線任一焦點 F，且 overrightarrow{AF} = lambdaoverrightarrow{FB} ，則有：

1. |AB|=frac{|HH|}{4}（lambda+frac{1}{lambda}+2） .

其中 |HH|為該圓錐曲線通經長。

2. |ecos heta|=|frac{lambda-1}{lambda+1}| .

其中 e 為該圓錐曲線的離心率， heta為若弦 AB 所在直線l的傾斜角。

四、仿射變換：

原理部分參看Dylaaan @Dylaaan的文章，在此提一下額外的幾點：

Dylaaan：【解析幾何】橢圓的仿射變換（伸縮變換）?

zhuanlan.zhihu.com圖標Dylaaan：【解析幾何】把雙曲線變成圓：帶複數的仿射變換?

zhuanlan.zhihu.com圖標

1.使用仿射變換之後，將橢圓或者雙曲線切換為圓之後，我們要注意應用圓周（心）角定理、垂徑定理、弦切角定理等定理來不斷切換邊角關係，使我們的傾斜角 heta 達到它的最大化效果，等會下面將會有一個例題印證；

2.對Dylaaan方法的一個改進：

繼續使用我們上篇文章的概念，雙曲線的「標準變換」的公式為：x=frac{x}{a}，y=frac{y}{bi}

我個人認為雙曲線的「標準變換」的公式改為：x=frac{x}{a}，y=-frac{y}{bi}比較好。

用 y=frac{y}{bi}=frac{1}{bi}cdot y=-frac{yi}{b} ，會導致進行變換之後的縱坐標係數變為原來的相反數，相當於上下倒換了一下，不注意的話很容易導致錯誤； y=-frac{y}{bi}=frac{yi}{b} ，相等於只在後面添上了一個 i 卻沒導致縱坐標的符號問題。

下面我們來看幾道例題：

例2：(2017? 五華區校級模擬)已知拋物線 C:y^2=2px（p>0） 的焦點為 F ,過點 F 的直線 l 與拋物線 C 及其準線分別交於 P,Q 兩點, overrightarrow{QF} = 3overrightarrow{PF} ,則直線 l 的斜率為：________.

解：作直線 PHot直線x=-frac{p}{2}

由拋物線定義得： |PH|=|PF| .

因為 overrightarrow{QF} = 3overrightarrow{FP} Rightarrow|PQ|=4|PF|=4|PH|,

因為 k_{1}=tanangle QFx=-tanangle QPO=-tanangle QPH 。

cosangle QPH=frac{|PH|}{|PQ|}=frac{1}{4}Rightarrow sinangle QPH=sqrt{1-cos^2 heta}=frac{sqrt{15}}{4} 。

k_{1}=-tanangle QPH=-frac{sinangle QPH}{cosangle QPH}=-sqrt{15} 。

例3.已知拋物線 C_{1}:y^2=4x 的焦點為F也是橢圓 C_{2}:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 的一個焦點， C_{1}與C_{2} 的公共弦長為 2sqrt{6} ，過點 F 的直線 l 與 C_{1} 相交於 A,B 兩點，與 C_{2} 相交於 C,D 兩點，且 overrightarrow{AC} 與overrightarrow{BD} 同向。

（1） 求C_{2}的方程；

（2） 若 |AC|=|BD| ,求直線 l 的斜率。

解： (1) 由 C_{1} 的方程知 F(0,1) ,則 a^2-b^2=1 ,

因為C_{1}與C_{2} 的公共弦長為 2sqrt{6},C_{1}與C_{2} 的圖像都關於 y 軸都對稱，

所以易得到C_{1}與C_{2} 的公共點坐標為 （pmsqrt{6}，frac{3}{2}），

代入得： a^2=9,b^2=8 ，故 C_{2}:frac{x^2}{9}+frac{y^2}{8}=1 。

(2) 由 |AC|=|BD| ,有 |AB|=|CD| ,

由焦點弦長公式得: frac{2 imes3 imes8}{9-cos^2 heta}=frac{4}{sin^2 heta}Rightarrow sin^2 heta=frac{8}{11}Rightarrow cos^2 heta=frac{3}{11} ，

則 tan heta=sqrt{frac{sin^2 heta}{cos^2 heta}}=frac{2sqrt{6}}{3} 。

例4.[2016·高考山東卷(文),21] (本小題滿分14分)已知橢圓 C:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 的長軸長為4,焦距為 2sqrt{2} .

(1) 求橢圓 C 的方程;

(2) 過動點 M(0, m)( m>0)的直線交 x軸於點 N,交 C於點 A, P( P在第一象限),且 M是線段 PN的中點.過點 P作 x軸的垂線交 C於另一點 Q,延長 QM交 C於點 B.

(ⅰ)設直線PM,QM的斜率分別為k,k,證明frac{k}{k}為定值;

(ⅱ)求直線AB的斜率的最小值.

解：(1)依題意得： 2a=4Rightarrow a=2 ； 2c=2sqrt{2}Rightarrow c=sqrt{2} ， b=sqrt{a^2-c^2}=sqrt{2} 。

則： C:frac{x^2}{4}+frac{y^2}{2}=1 。

(2)(ⅰ)作仿射變換：x=frac{x}{2}，y=frac{y}{sqrt{2}}，則 C』：x^2+y^2=1 ,

令k,k在變換後變為 k_{1}，k_{2} ，有 k_{1}=sqrt{2}k，k_{2}=sqrt{2}k』 。

M(0,frac{m}{2}) ,設 P（x_{0}，y_{0}） ，則 Q(x_{0}，-y_{0}) .

l_{P』M』}：y=k_{1}（x-x_{0}）+y_{0} ,令 x=0 ， frac{m}{sqrt{2}}=-x_{0}k_{1}+y_{0}=frac{y_{0}}{2}Rightarrow k_{1}=frac{y_{0}}{2x_{0}} ,

frac{k}{k}=frac{k_{2}}{k_{1}}=frac{-y_{0}-frac{m}{sqrt{2}}}{y_{0}-frac{m}{sqrt{2}}}=frac{-sqrt{2}y_{0}-m}{sqrt{2}y_{0}-m}=frac{-2sqrt{2}frac{m}{sqrt{2}}-m}{2sqrt{2}frac{m}{sqrt{2}}-m}=-3 .

(ii)令 BQ 交 x 軸於點 R ，

在圓 C 中， angle BAP=angle BQP=angle OMR=frac{pi}{2}-angle ORM=frac{pi}{2}-left( pi-angle BRx ight)=angle BRx-frac{pi}{2}

tanangle BAP=tan(angle BRx-frac{pi}{2})=-frac{1}{k_{2}} ,

令 k_{3}=sqrt{2}k_{AB} .即： frac{k_{3}-k_{1}}{1+k_{3}k_{1}}=frac{1}{k_{2}}Rightarrow k_{3}=frac{-frac{1}{k_{2}}+k_{1}}{1+frac{k_{1}}{k_{2}}}=frac{3}{2}（-frac{1}{k_{2}}+k_{1}）geqfrac{3}{2}cdot2sqrt{-frac{k_{1}}{k_{2}}}=sqrt{3} 所以 k_{AB}geqfrac{sqrt{3}}{sqrt{2}}=frac{sqrt{6}}{2} ，故 k_{AB min}=frac{sqrt{6}}{2} ，

此時 k_{1}=-frac{1}{k_{2}}Rightarrow k=frac{sqrt{6}}{6},k=-frac{sqrt{6}}{2} 。

希望看到這的同學可以有所啟發，希望對大家的圓錐曲線解題有所幫助。

如有新的發現和想法，歡迎各位在評論區留言或者私信我，謝謝大家，祝大家元宵節快樂~

推薦閱讀：

相关文章