拉格朗日量與哈密頓量--分析力學入門

眾所周知，分析力學是建立在「最小作用量原理」之上的。它有很多名字，有很多形式和理解。這裡就用我喜歡、而且自認為比較容易的一種理解：作用量： $S=int_{t_!}^{t_2}Ldt$ ，作用量變分為0：。

它表示有一個可以描述系統狀態的量，它在時間上面的積分就是系統狀態的演化量，這樣的演化量需要滿足最小化原理。

因為這個量被要求描述系統的狀態，所以它的一組參數就被要求能完整描述系統狀態，我們把這樣能完整且不重複地描述系統狀態的一組參數叫做廣義坐標。

當然，拉格朗日選擇的是這樣一套坐標： $L(mathop{q}limits ^. , q,t)$ ,其中 $mathop{q}limits ^.$ 代表速度，代表位置，代表時間。大家可以感受一下，只用這三個量確實可以完全確定一個系統的狀態。（覺得記起來困難的朋友可以自動進行符號替換： $mathop{q}limits ^.=v$ , ）。

首先介紹一下等時變分，它是指滿足

的變分，變分記號

可以不嚴謹地理解成跟微分記號

一樣的東西。下面由等時變分導出拉格朗日方程（

）：

$delta S=int_{t_1}^{t_2}(frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.}delta mathop{q}limits ^. + frac{partial L}{partial q}delta q)dt=0$

在式 $delta mathop{q}limits ^.=delta frac{dq}{dt}$ 中，對交換記號（能夠交換記號的充分條件是，該函數被兩個記號分別作用後都連續），有 $delta mathop{q}limits ^.=frac{d(delta q)}{dt}$ 。

對於積分中的第一項可以分部積分變為：

$frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.}delta mathop{q}limits ^.=frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.} frac{d(delta q)}{dt}=frac{partial L}{partialmathop{q}limits ^. }delta q-delta qfrac{d}{dt}(frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.})$ ，因為廣義坐標之間相互獨立，顯然 $frac{partial L}{partialmathop{q}limits ^. }delta q$ 是。

所以 $frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.}delta mathop{q}limits ^.=-delta qfrac{d}{dt}(frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.})$ 。

所以原積分變為：

$delta S=int_{t_1}^{t_2}(-delta qfrac{d}{dt}(frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.})+ frac{partial L}{partial q}delta q)dt=0$

將提出： $=int_{t_1}^{t_2}( frac{partial L}{partial q}-frac{d}{dt}(frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.}))delta qdt$ 。

由此： $frac{partial L}{partial q}-frac{d}{dt}(frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.})=0$

即： $frac{d}{dt}(frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.})=frac{partial L}{partial q}$ （拉格朗日方程）。

對比牛頓第二定律 $frac{dp}{dt}=ma=F$ 。

很容易看出， $frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.}=p$ ， $frac{partial L}{partial q}=F$ 。所以我們把 $frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.}$ 叫做廣義動量，把 $frac{partial L}{partial q}$ 叫做廣義力。

按照經典物理中動量式，由 $frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.}=p$ 積分可以得到 : $L=int_{}^{}mvdv=frac{1}{2}mv^2+C(q)$

其中表示與（或者說）有關，而與 $mathop{q}limits ^.$ （或者說）無關的函數。

再根據 $frac{partial L}{partial q}=F$ 和 $frac{d}{dt}(frac{partial L}{partial mathop{q}limits ^.})-frac{partial L}{partial q}=0$ 可以確定的符號取負，並且就是勢能。也就是說外力滿足： $F=-frac{partial U}{partial r}$ （比如 $F=qE=-frac{partial (qU)}{partial r}$ ）。