在最前面應該指出一點,哈密頓力學和拉格朗日力學是等價的,所以雖然好像哈密頓量在哪都是拉格朗日量變換而來的但其實他並不依賴於拉格朗日量.完全可以直接構造.但這裡不展開討論.

第一步是在不要求數學功底的情況下儘可能理解一下勒讓德變換:

定義是大概這樣的:

設 [y=fleft( x ight)] 二階導數大於 0 ,對給定的 k ,存在直線 [y=kx] ,對每個 k 值

函數 [kx-fleft( x ight)=gleft( k ight)] 在 [x=xleft( k ight)] 時對 x 有最大值,則稱 [gleft( k ight)] 為 [fleft( x ight)] 的勒讓德變換.

定義說的也很在理.但是像我們數學不怎麼好的人可能會覺得數學定義都是"懂的部分覺得說的很有道理,不懂的部分覺得根本不是人話."

下面實際舉舉例子(並伴隨著個人迷思):

A.一元函數情況:

設 [y=yleft( x ight)] 記 [frac{dy}{dx}=k] ,則有 [dy=kdx] 可改寫為 [dy=dkx-xdk]

這樣既有 [xdk=dleft( kx-y ight)] 可以令 [gleft( k ight)=kx-y] 這就是 [yleft( x ight)] 的一個勒讓德變換.

可以看出我們在求微分之後就選擇 k (而不是 x )作為自由變數了.

此時 [x=xleft( k ight)] 也是 [k] 的函數了. [yleft( x ight)=yleft[ xleft( k ight) ight]] 所以整個都是 [k] 的函數.

這個 [g=gleft( k ight)] 究竟...これは一體...(其實就是[斜率]向[某距離]的映射.)

也就是同樣一個函數關係,本來是用[橫坐標x]向[縱坐標y]的映射來表示的.而現在是用[斜率k]向[某距離 [kx-y] ]的映射來表示.二者是一一對應地描述著同一個變化過程,所以信息不會缺失.這就保證了一點:用 [yleft( x ight)] 能獲得的信息,用 [gleft( k ight)] 一定能獲得, and vise versa.

哪這個[某距離 [kx-y] ]究竟是什麼呢?

手繪一張圖來嘗試解釋上面兩段話:

這裡想到用圖直觀表示展示一下是受到知友 @Thavincy 某個回答的啟發.thx btw

都在 y-x 系下表示了,也是為了能一眼看出一點:[二者描繪的是同一個變化.]

其實右邊的應該是 g-k 系下的函數.但這樣可以輕鬆看出來一點:之前所謂的[某距離]就是[gleft( k ight)]在 y 軸上的[截距的絕對值](後面簡稱截距).這樣每一個 k 所確定的直線 [kx-y] 都能唯一的映射到一個截距,也就是這些確定了斜率的直線的位置都安排好了.那最後組成的圖形其實就是前面的曲線 [yleft( x ight)].

總而言之

左邊是[x軸上數值]到[y軸上數值]的映射,用一個點表示了.

右邊是[確定的斜率k]到[直線的截距g(k)]的映射,用一條線表示了.

當點足夠密集可以描述出這個變化信息.

當線足夠密集可以描述出這個變化信息.

#實際上在g-k 系下後者也是點.不過自然是要在同一個參考系下才能交流/比較嘛.

#要辦到一個斜率就能確定一個截距需要什麼條件呢？這就是前面提到的二階導數大於0.

#為何要變換?因為可以換一個變數啊.是有它的好處的,實際上有這個性質後面會起大作用:

[frac{dg}{dk}=frac{dkx}{dk}-frac{dy}{dk}] ------------------------------------[i]

其中 [dy=kdx=dkx-xdkRightarrow frac{dy}{dk}=frac{dkx}{dk}-x] --[ii]

[ii]帶入[i]得到 [frac{dg}{dk}=x] 這是後面正則方程想要得到的性質.

#上述性質可以從這個式子一眼看出來: [xdk=dleft( kx-y ight)=dg]

はい、ここまで.我感覺自己講的超級清晰的!

B.二元函數情況也類似:

設 [z=zleft( x,y ight)] 記 [frac{partial z}{partial x}=u] 且 [frac{partial z}{partial y}=v] .則有 [dz=udx+vdy]

可改寫為 [dz=dux-xdu+vdy]

這樣既有 [xdu-vdy=dleft( ux-z ight)] 可以令 [wleft( u,y ight)=ux-z]

這樣一來 [wleft( u,y ight)] 就是 [zleft( x,y ight)] 的一個勒讓德變換了.

我們在中間選擇了 u 和 y 作為自由變數, [x=xleft( u,y ight),z=zleft[ xleft( u,y ight),y ight]]

所以 [w=wleft( u,y ight)] 整個是 u 和 y 的二元函數.

前面的好特性在二元顯示的就很清晰:

由式子[dw=dleft( ux-z ight)=xdu-vdy]

可以輕鬆得到: [left{ egin{align} & frac{partial w}{partial u}=x \ & frac{partial w}{partial y}=-v \ end{align} ight.] #這就是正則方程.(至少差不多了...

整體都是和一元情況類似的,就不再展開講了.

也可以選擇 u 和 v 作為自由變數,都是沒問題的.

二元函數嘛,倆自由度,所以四個裡面選倆就是了.

三元,四元,一百元,都是類似的,後面拉格朗日量變數(廣義坐標,廣義速度)可就多了.

第二部是利用勒讓德變換從拉格朗日量得到哈密頓量:

拉格朗日量為 [L=Lleft( {{q}_{alpha }},{{{dot{q}}}_{alpha }},t ight)]

先默認在是保守系下,即使用 [frac{partial L}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{d}{dt}frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}] (保守系 [E-L equation] )

求微分 [dL=sumlimits_{alpha }{frac{partial L}{partial {{q}_{alpha }}}d{{q}_{alpha }}}+sumlimits_{alpha }{frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}d{{{dot{q}}}_{alpha }}}+frac{partial L}{partial t}dt]

可以改寫為 [dL=sumlimits_{alpha }{frac{partial L}{partial {{q}_{alpha }}}d{{q}_{alpha }}}+sumlimits_{alpha }{left[ dfrac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}-{{{dot{q}}}_{alpha }}dfrac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}} ight]}+frac{partial L}{partial t}dt]

現在做一個記號: 記 [frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}={{p}_{alpha }}] 稱為廣義動量

自然由 [E-L equation] 可以的到: [frac{partial L}{partial {{q}_{alpha }}}=frac{d}{dt}frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}={{{dot{p}}}_{alpha }}]

故微分式可改寫為 [sumlimits_{alpha }{{{{dot{q}}}_{alpha }}d{{p}_{alpha }}-}sumlimits_{alpha }{{{{dot{p}}}_{alpha }}d{{q}_{alpha }}-frac{partial L}{partial t}dt}=dleft( sumlimits_{alpha }{frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}-L ight)]

定義 [Hleft( {{p}_{alpha }},{{q}_{alpha }},t ight)=sumlimits_{alpha }{frac{partial L}{partial {{{dot{q}}}_{alpha }}}{{{dot{q}}}_{alpha }}}-L] 為哈密頓量[就是 [Lleft( {{q}_{alpha }},{{{dot{q}}}_{alpha }},t ight)] 的勒讓德變換]

由式子 [dHleft( {{p}_{alpha }},{{q}_{alpha }},t ight)=sumlimits_{alpha }{{{{dot{q}}}_{alpha }}d{{p}_{alpha }}-}sumlimits_{alpha }{{{{dot{p}}}_{alpha }}d{{q}_{alpha }}-frac{partial L}{partial t}dt}]

可以輕鬆看出一個關係: [left{ egin{align} & frac{partial H}{partial {{p}_{alpha }}}={{{dot{q}}}_{alpha }} \ & frac{partial H}{partial {{q}_{alpha }}}=-{{{dot{p}}}_{alpha }} \ end{align} ight.] 這就是哈密頓正則方程[quite majestic]


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