图3 形状公差的理想要素

如图3所示的直线度要求，直线度没有基准，所以直线度公差带（相距为0.1的两平行线之间的区域）的自由度没有被约束。所以直线度对应的理想要素（一根理想的直线）的自由度不受外部特征的约束，而受实际被测要素（弯弯曲曲的那根曲线）约束。在实际的测量计算的过程中，首先要根据弯弯曲曲的实际被测要素用切比雪夫法（最大值最小法）拟合出一根直线，这根直线就是传说中的理想要素，这根直线在空间中的方向和位置完全是由被测要素（弯弯曲曲的线）所决定。

这根传说中的理想直线有啥用呢？只要我们上下慢慢平移这个直线去刚刚好包住实际被测要素，然后最上面的一根线和最下面的一根线之间就形成了一个区域边界，见图3右边那个图，而这个区域也就是另外一个传说中的最小区域法的那个最小区域，它具备3个特点：

1.这个最小区域的形状和公差带的形状相同

2.这个区域包含所有的被测要素（或其提取要素）

3.这个区域在满足上面1，2条件所有的区域中最小

到这里有人会相当不耐烦了，说这么多废话，能不能整点有用的东西呢？

确实有点不值得，我们拐了那么多个弯，就是想说明一个点：

这个最小区域的宽度d，就是我们在测量报告上看见的那个直线度的实际测量值。只要满足d<=0.1,该零件的直线度合格（需要注意的是，直线度定义的是平行于视图所有的线，每一条实际的被测线都有自己对应的d值，而我们把直线度最大的值作为输出值）。

在回顾一下我们拐弯抹角的轨迹：

采点（实际要素的提取要素）-> 拟合理想要素->找到最小区域->得到实际测量值。

需要提出的是，最小区域法的那个区域和公差带的形状相同，但是不是公差带。另外，最小区域的大小，取决于实际要素相对于理想要素的变动量了，再次强调，测量的过程就是实际要素和理想要素的比对过程。

到这里，相信很多好专研的小伙伴又会问，那什么是牛逼哄哄的切比雪夫法呢？它的计算公式是什么样的呢？

对不起，恶心大家一把，请关注我的下一篇文章吧。反正大家知道切比雪夫法是一种演算法就行了，和最小二乘法类似（也就是高斯法）。

大家需要记住切比雪夫法的特点是，绝对的中间主义，永远处在最好和最坏的平分线上，谁都不偏袒。而最小二乘法，多少有点民主，倾向于大多数。

顺便提一下，人家切比雪夫虽然比不上非人类的高斯牛逼，但他可是俄罗斯本土数学派的奠基人哦，他之前俄罗斯的数学烂得扔在地上没人捡，他之后的俄罗斯派数学马上升到世界前列的高逼格了（当然彼得大帝也有相当的作用）。

牛犊子扯远了，继续。

II. 定向最小区域法中的理想要素

在形状公差的理想要素的拟合中，理想要素是完全由实际的被测要素拟合出来的，不受任何外界特征的约束。如果说它是天生草根的屌丝一个，那么在方向公差里的理想要素，还多少有点血统因素在里边：

图4 方向公差的理想要素

关于方向公差的实际评价方法，官方说法是定向最小区域法。啥意思呢，也就是说存在这么一个区域，它必须满足三个条件：

1.这个最小区域的形状和公差带的形状相同，而且方向必须绝对垂直于A

2.这个区域包含所有的被测要素（或其提取要素）

3.这个区域在满足上面1，2条件所有的区域中最小

那么这个定向的最小区域的宽度d,就是该垂直度的实际测量值。

这个最小区域的边界怎么来？也是由理想要素包出来的。此时的理想要素也是由实际被测要素拟合而来，只是这时的拟合不是自身自灭，没人管的自由拟合，在拟合的过程中有个约束条件，那就是该理想要素（一个理想的平面）要绝对垂直于A基准，基于这种约束条件拟合好后，该理想要素在空间中的方向和位置就确定了。

再用这个拟合好的理想要素去夹被测要素，刚刚好夹住后，他就形成了定向最小区域的边界。

所以对于方向公差中的理想要素，说它有点血统关系，那是因为在拟合它的时候受到一定的约束条件（和基准保持理想的方向关系）。

III. 定位最小区域法中的理想要素

定位最小区域法中的理想要素，简直就是含著金钥匙出生，它完全是由基准决定，和被测要素自身没有任何关系，不需要拟合。见下图:

图5 位置公差的图纸

在图5中，公差带在空间中的六个自由度被基准约束了，也就是说公差带相对于基准ABC来说，方向和位置是固定死的。前面我们也提到过，基准限制了公差带多少个自由度，它也限制了理想要素多少个自由度。在图5里边，位置度的理想要素也是完全被基准限制死了，A限制方向（垂直于A), B和Ｃ通过理论值确定了理想要素的位置，所以这时的理想要素刚好在公差带的中心。见下图：

图６ 定位最小区域

　　如图６所示，图中的最小包容区域实际上也是定位最小区域。所谓的定位最小区域是一个圆柱，该圆柱有三个特点：

　 1.这个圆柱的形状和公差带的形状相同，圆柱的中心必须和理想要素重合，也就是和公差带的中心重合。

2.这个圆柱包含所有的被测要素（或其提取要素）

3.这个圆柱的直径最小

　　满足上面三个条件的圆柱，就是定位最小区域法的区域，该圆柱的直径ｄ就是实际零件位置度的测量值。显然可以看出，这个直径ｄ，也就是在实际被测要素中，和理想要素距离最远点的距离２倍。

２.　复合位置度的实际测量值

　　回到我们刚开始的那道题：

　　 图７　复合位置度的测量值计算

　　分析复合位置度时，我们必须一行一行分析。实际测量复合位置度时，每一行都必须要测量评估，给出测量的结果。

１）第一行的分析

图７中，已经给出了实际被测要素的实际坐标值，如果要得出实际的测量值，我们只要三步：

第一步：找出理想要素，确定它在空间中的方向和位置

第二步：理想要素和实际要素进行比对，用最小区域去框住实际被测要素

第三步：计算该最小区域的大小，即为实际的测量值。

　　第一步找出理想要素，对于图７中，理想要素是什么几何特征呢？它其实就是两根绝对平行的轴线，而且这两根轴线的距离是绝对的４０，见下图：

图８　孔组的理想要素

　　对于复合公差第一行的理想要素比较好确定，因为第一行的公差带的自由度被基准限制死了，理想要素也被限制死了，它就是公差带的中心，我们只要将实际被测要素和公差带中心（理想要素）做比对画圆柱就可以得出最小区域，见下图：

　　　图９　第一行的测量值的确认

　　请仔细观察图９中的理想要素和实际被测要素，显然有，Ａ孔的实际测量值和Ｂ孔的测量值为：

２）第２行的分析

同样，分析第二行的时候，要分析公差带的特点。首先，我们说在复合位置度里边，第二行和第二行以下所有的基准都是被阉割过的，即都是被「去定位」的，这些基准对公差带的限制只能定方向不能定位置。

所以第二行的公差带是两个直径为0.15的圆柱，该两个圆柱轴线理想垂直于A，相距为理想的40. 关键在于，这两个圆柱相对于B的方向固定，即这两个圆柱轴线的连线和B绝对平行。但是，因为B不能限制公差带的位置（去定位），所以作为公差带的两个小圆柱在保证和A垂直而且相距是40的前提下，可以一起上下同时平移（不能一起旋转）。又因为没有C来限制左右移动，所以这两个圆柱也可以左右平移。

分析完公差带的特点我们再来分析理想要素的特点，前面提过，理想要素的特点和公差带类似，也就是说该理想要素（理想的两根平行的轴线，距离是绝对的40），它要和A保持理想垂直，和B的方向固定。这是前提条件，剩下的，它可以同时左右和上下平移，这些自由度由被测要素来限制。如何限制呢？

还是先通过切比雪夫法（很多软体采用的是最小二乘法）去尽最大限度的靠近被测要素，使得理想要素和两个被测要素各自的距离优化到最小。图例给的比较特殊，所以我们想想就可以知道，理想要素在保证和A垂直，距离是40，而且它们的连线和B要平行的情况下，只有在下图位置是最优的（任何其他位置都会导致和实际被测要素的距离变大）：

图10 第二行测量值的确认

从图10中可以看出，经过「最佳拟合」后，理想要素和实际被测要素的距离最近，e,f分别表示左右孔的理想要素和被测孔轴线的距离，而且有：

e=f=0.15（25.1-24.95或24.95-24.8）

所以对于复合位置度第二行的实际测量值为AB轴的最小包容区域的直径，则为2xe或2xf, 所以有:

A孔位置度0.3，B孔位置度0.3 .

3）第3行的分析

基于同样的逻辑，我们再来分析第三行。先分析公差带的特点，它的公差带是两个直径为0.08的圆柱，该两个圆柱和A绝对垂直，两圆柱轴线的距离是理想的40, 其它的自由度则没有被限制。

前面提过，理想要素具备公差带相似的特点。和第二行做比较，因为没有B基准限制方向，所以该理想要素（两根平行的轴线，垂直于A，距离g=40）除了在垂直于A的前提下可以一起上下平移，左右平移，还可以一起旋转。

理想要素利用这些自由度拚命的靠近被测要素来实现最佳拟合（切比雪夫法或最大值最小法），拟合好后（e和f最小），就形成下面的样子：

图11 第三行测量值的确认

上图中g=40，又因为有e=f, 计算e或f很简单，图11中简单的几何关系可以得出，用A孔实际被测要素轴线和B孔被测要素轴线间的距离减去g(40)再除以2，则可以得到e和f, 公式如下：

因为e和f又表示AB轴最小包容区域的半径， 那么第三行的测量结果则为AB孔轴的最小包容区域的直径：

A孔位置度0.0012，B孔位置度0.0012 .

总结：

本文讨论了理想要素的含义和特点，如果它是一个单一特征，它本身的形状是理想的，如果是特征组，则特征和特征之间的方向和距离理想。

关键问题在于，理想要素相对于实际被测要素的方向和位置应该在哪里。如果将基准比喻成为父母，我们的理想要素则是一个乖乖女， 从不违背父母定下的规则（基准的功能）。而邻居家有一个毛孩子（实际被测要素），乖乖女很想跟毛孩子一起玩，于是在不违背父母规则的情况下去想尽办法靠近这个毛孩子（定位最小区域的理想要素的拟合或定向最小区域的理想要素的拟合）；若这个乖乖女没有父母（如没有基准的形状公差），则是变成了野孩子，成天和邻居家的毛孩子混在一起。这就是所谓切比雪夫法的特性（很多软体采用的最小二乘法）。

只要我们掌握了基准定下的规则，理想要素具备拚命想靠近实际被测要素的特点，而且我们采用的方法是切比雪夫法（或最小二乘法），这是一个谁都不想得罪的中间主义逻辑，那么就不难算出理想要素相对于被测要素的位置，从而得出最小包容区域的大小，即实际测量值。

如果各位小伙伴能够耐心看完这篇连我都难受的文章，还不觉得恶心的话，可以自己计算一下下面这个组合位置度的实际测量值，可以用PCDMIS来验证你的计算是否正确哦。

谢谢你的关注! 如果觉得这是在胡言乱语，欢迎砖头扔过来！

附加问答：

问：如果有多个特征，比如4个，6个孔、对于第三行，是否需要两两比较？？

答：多个特征的话，不是两两比较，而是有四个或六个理想要素，(他们轴线绝对平行，距离理想，可以看成是一个特征)，他们得作为一个整体特征去和实际轴线最佳拟合，再作计算。通常特征多了，要借助不怕累的软体了，人为太难。

问：上面的答复中老师提到ISO中无复合位置度和复合轮廓度说法。但我好像在ISO（或者国标中）中见过复合位置度这个说法，只是没展开，复合轮廓度确实没见过。

答：ISO的确实也有复合位置度的说法，但是它和美标的符合位置度不一样，它其实就是把几个位置度的要求写在一起，也就是组合位置度。美标的位置度有详细的讨论和规则，所以只有美标才有复合公差一说。

问：实际测量过程中第二行位置度是否基于第一行基准的要求，若是这样为了保证产品合格25的理论尺寸在第一行中已经被限制了是这样吗，但是第一行出现不合格情况下第二行可能合格

答：可能第二行合格，第一行不合格，因为第二行和25无关，但是25由第一行来控制。不管是复合公差还是组合公差，逻辑是必须每行都满足要求，才算合格。所以每行都出检测报告，每行单独评价。

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