重力和毛細作用下的自由液面輪廓分析
前面有相關文章分析了在自由狀態下忽略重力作用下的液面輪廓分析。下面加上重力的作用，來分析液膜的輪廓方程。
- 重力下彎液面輪廓方程
重力下的彎液面達到平衡時，其平衡時重力和拉普拉斯附加壓力引起的毛細作用力達到平衡。如圖1所示
在液面的下方(immediately underneath the surface)滿足方程為：
式中，P0大氣壓強，z是液面在毛細作用下上升的高度，R（z）為其表面曲率半徑。並定義為，當z為正時，曲率半徑為負值。化簡公式1可得：
式中，
為毛細作用長度，通常其量級在毫米級。對於毛細管，當毛細管的半徑小於毛細作用長度時，其彎液面的特徵尺寸就是毛細管的半徑。對於其他體系，當液面從0在毛細作用下逐漸升高或下降時，其特徵尺寸就是這個毛細作用長度。
2. 平板引起的液面輪廓分析
平板引起的液面上升或下降的特點是有一個曲率半徑為0，另一個曲面的側面圖如下圖所示：
現在只需要把公式2中的曲率半徑和坐標的關係求出來即可。根據曲面中的相關公式：
帶入公式2中，即可得出關係：
上式是關於z的二階微分方程，一次積分，然後使用x趨近於無窮時，z和一階導數都為零的邊界條件，即可得出方程：
繼續積分，即可得出確切的表面輪廓方程為：
跟前面幾篇文章中討論的類似，上面的結論可以通過受力分析得出：
跟重力下的液膜厚度分析方法類似，對液膜從無窮遠方向到x位置進行受力分析。
在水平方向上，所受的表面張力無窮遠處和x處的表面張力之和，為:
對這部分液滴的靜壓強進行積分，可得：
聯立即可得到方程為：
引入毛細作用長度k，即可得出：
對公式8中，依據曲線相關公式代換條sinθ，即可得出公式4。
通過公式8，可以依據邊界條件算出液體在毛細作用下上升的最大的高度。當x=0處時，高度為h，角度θ此時為固體表面的接觸角θe，則可以得出最大的毛細上升高度為：
可以算出，對於接觸角接近於0的玻璃表面，對與純水，其毛細作用引起的液面最大高度約為4 mm。
3. 重力作用下圓柱纖維附近的液面輪廓分析
與上面不同的是，圓柱周圍的液面兩個曲率半徑都不為零，設為R1和R2，則公式1變形為：
這時可以對液面分為兩部分分析。在毛細長度範圍內，重力作用被忽略。在大於毛細作用長度範圍時，開始考慮重力作用，如圖3所示
則根據前面不考慮重力時的情形，假設接觸角為0，則在x<k-的負一次方時，滿足懸鏈曲線，方程為：
結合實際情況，橫向最大作用距離為k-1, 可以算出最大毛細上升高度公式為：
這個值只是纖維半徑的幾倍，他們基本處於一個數量級。可見，由於重力作用，毛細作用對於纖維的作用高度遠遠低於平板的高度。
對於x>k的負一次方時的情形，其方程符合：
纖維的這種毛細作用可以被用來製作原子力顯微鏡的探針。其腐蝕過程和製備的結構如圖4所示。
參考：De Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2013).Capillarity and wetting phenomena: drops, bubbles, pearls, waves. Springer Science & Business Media.
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