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這是表述海森堡不確定性原理最常見的數學形式，兩個不確定度的乘積不能小於一個確定值。

令人迷惑的思想實驗

海森堡自己想通過以下的思想實驗來理解不確定性原理。假設你想確定一個電子的位置，你需要用顯微鏡觀察電子反射的光子。顯微鏡的精度被光的波長所限制——波長越短顯微鏡可以達到的精度越高。海森堡提出使用波長非常短的伽馬射線來觀測電子。

但是相應的，光的波長越短頻率就越高，光子攜帶的能量就越大。海森堡認為你可以通過伽馬射線非常精確地測量電子的位置，但是要做到這一點要求至少有一個光子被電子反射。由於伽馬射線的光子能量很高，因此碰撞會顯著的改變電子的運動狀態，也就是影響電子的動量。因此伽馬射線顯微鏡可以很精準地告訴你電子的位置，但是它的擾動使得動量的測量變得不準確。

海森堡的思想實驗看似清晰但是卻是誤導人的，它會讓人誤以為不確定性是測量對系統的擾動的結果。「海森堡不確定性原理經常被用實驗來表述，但是關於它你真正應該思考的是電子本身，」劍橋大學的理論物理學教授 Ben Allanach 說。無論測量與否，該原理涉及到的不確定性是量子世界與生俱來的性質。

對不確定性原理更清楚的認識

儘管海森堡不確定性原理是一個令人感到疑惑的想法，但當你用數學來描述它時，它會變得清晰得多。一個量子系統，例如海森堡考慮的電子。系統在某一時刻的狀態由波函數描述，波函數的解只能給出系統具有某種性質的概率。這種概率性導致我們無法準確預測電子的位置。「你考慮的是電子在空間中的分布，」Allanch 說，「如果你測量一個電子，你可以得到測量後它所處的具體位置，但是如果你準備100萬個處於同一狀態的電子然後分別測量它們，你會發現測量到的位置分散在四周。」你所測量到的分散性反映了波函數帶來的概率性。你想測量的其他性質也表現出相似的特點，比如動量：你所能預測的只是測得某些動量的概率。

如果你想要從波函數中計算出粒子位置和動量取某些值的概率，需要用到被稱為算符的數學工具。量子力學中有很多種算符，例如位置、動量和其他你想了解的性質。這些算符，例如位置算符，作用在波函數上可以得到可能測量到的電子的位置，並且得到測量時電子處於某位置處的概率。每個算符都具有一組被稱為本徵態的波函數，當電子處於位置本徵態描述的狀態時，電子處於某個位置的概率是100%。

對於其他算符來說也是一樣的。動量算符同樣具有一系列本徵態，處於本徵態的粒子具有確定的動量。但是從數學上可以看出粒子不可能同時處於動量和位置的本徵態。就像 2+3 無論如何也不會等於27一樣，算符對應的數學要求動量和位置不可能同時處於本徵態。（對於熟悉量子力學的人來說，這說明動量和位置算符不可對易。）從數學上講，想讓這樣兩個力學量同時具有確定值是不可能的。「量子物理的不確定性似乎限制了你對電子的位置和動量測量精度的極限，」Allanach 說，「這是電子本身的性質，不是測量導致的誤差。」無論測量與否，你都不可能超越這種不確定性。

因為海森堡第一次表述不確定性原理使用的力學量是動量和位置，其他的共軛物理量也存在類似的不確定性原理。這些不確定性導致了量子物理中一系列迷人的結果。如果你仍然覺得這些想法有悖直覺的話，沒關係，你不是一個人：愛因斯坦自己對海森堡的不確定性原理和這種現實所帶來的「陰雲不定」感到震驚。今天的物理學家已經習慣了這些想法，並且正在充分利用這種不確定性。

原文來源：

https://plus.maths.org/content/heisenbergs-uncertainty-principle

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