核心:划分点选择 + 输出值确定。
决策树是一种基本的分类与回归方法,本文叙述的是回归部分。回归决策树主要指CART(classification and regression tree)演算法,内部结点特征的取值为「是」和「否」, 为二叉树结构。
所谓回归,就是根据特征向量来决定对应的输出值。回归树就是将特征空间划分成若干单元,每一个划分单元有一个特定的输出。因为每个结点都是「是」和「否」的判断,所以划分的边界是平行于坐标轴的。对于测试数据,我们只要按照特征将其归到某个单元,便得到对应的输出值。
【例】左边为对二维平面划分的决策树,右边为对应的划分示意图,其中c1,c2,c3,c4,c5是对应每个划分单元的输出。
如现在对一个新的向量(6,6)决定它对应的输出。第一维分量6介于5和8之间,第二维分量6小于8,根据此决策树很容易判断(6,6)所在的划分单元,其对应的输出值为c3.
划分的过程也就是建立树的过程,每划分一次,随即确定划分单元对应的输出,也就多了一个结点。当根据停止条件划分终止的时候,最终每个单元的输出也就确定了,也就是叶结点。
既然要划分,切分点怎么找?输出值又怎么确定?这两个问题也就是回归决策树的核心。
[切分点选择:最小二乘法]; [输出值:单元内均值].
1.原理
假设X和Y分别为输入和输出变数,并且Y是连续变数,给定训练数据集为 ,其中 为输入实例(特征向量),n为特征个数,i=1,2,...,N, N为样本容量。
对特征空间的划分采用启发式方法,每次划分逐一考察当前集合中所有特征的所有取值,根据平方误差最小化准则选择其中最优的一个作为切分点。如对训练集中第j个特征变数 和它的取值s,作为切分变数和切分点,并定义两个区域 和 ,为找出最优的 和 ,对下式求解
(1.1)
也就是找出使要划分的两个区域平方误差和最小的 和 .
其中, , 为划分后两个区域内固定的输出值,方括弧内的两个min意为使用的是最优的 和 ,也就是使各自区域内平方误差最小的和 ,易知这两个最优的输出值就是各自对应区域内Y的均值,所以上式可写为
(1.2)
其中 , .
现证明一维空间中样本均值是最优的输出值(平方误差最小):
给定一个随机数列 ,设该空间中最优的输出值为 ,根据最小平方误差准则,构造 的函数如下: 考察其单调性, 令 得, 根据其单调性,易知 为最小值点。证毕。
给定一个随机数列 ,设该空间中最优的输出值为 ,根据最小平方误差准则,构造 的函数如下:
找到最优的切分点(j,s)后,依次将输入空间划分为两个区域,接著对每个区域重复上述划分过程,直到满足停止条件为止。这样就生成了一棵回归树,这样的回归树通常称为最小二乘回归树。
2. 演算法叙述
输入:训练数据集D;
输出:回归树f(x).
在训练数据集所在的输入空间中,递归地将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值,构建二叉决策树:
(1) 选择最优切分变数j与切分点s,求解
(1.3)
遍历变数 ,对固定的切分变数 扫描切分点 ,选择使上式达到最小值的对 .
(2) 用选定的对 划分区域并决定相应的输出值:
, (1.4)
其中, , .
(3) 继续对两个子区域调用步骤(1),(2),直至满足停止条件.
(4) 将输入空间划分为M个区域 ,生成决策树:
(1.5)
其中 为指示函数, .
(参考:https://blog.csdn.net/weixin_40604987/article/details/79296427)
下表为训练数据集,特征向量只有一维,根据此数据表建立回归决策树。 ?
(1) 选择最优切分变数j与最优切分点s:
在本数据集中,只有一个特征变数,最优切分变数自然是x。接下来考虑9个切分点 (切分变数两个相邻取值区间 内任一点均可),根据式(1.2)计算每个待切分点的损失函数值:
损失函数为(同式(1.2))
a. 计运算元区域输出值
当s=1.5时,两个子区域 , ,
,
同理,得到其他各切分点的子区域输出值,列表如下
b. 计算损失函数值,找到最优切分点
当s=1.5时,
同理,计算得到其他各切分点的损失函数值,列表如下
易知,取s=6.5时,损失函数值最小。因此,第一个划分点为(j=x,s=6.5).
划分区域为: ,
对应输出值: ,
(3) 调用步骤(1),(2),继续划分:
对 ,取切分点 ,计算得到单元输出值为
损失函数值为
L(3.5)最小,取s=3.5为划分点。
后面同理。
(4) 生成回归树:
假设两次划分后即停止,则最终生成的回归树为:
对第三部分例子的python实现及与线性回归对比。
(来自https://github.com/KARL13YAN/learning/blob/master/regression%20tree.py)
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor from sklearn import linear_model
# Data set x = np.array(list(range(1, 11))).reshape(-1, 1) y = np.array([5.56, 5.70, 5.91, 6.40, 6.80, 7.05, 8.90, 8.70, 9.00, 9.05]).ravel()
# Fit regression model model1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=1) model2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=3) model3 = linear_model.LinearRegression() model1.fit(x, y) model2.fit(x, y) model3.fit(x, y)
# Predict X_test = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)[:, np.newaxis] y_1 = model1.predict(X_test) y_2 = model2.predict(X_test) y_3 = model3.predict(X_test)
# Plot the results plt.figure() plt.scatter(x, y, s=20, edgecolor="black", c="darkorange", label="data") plt.plot(X_test, y_1, color="cornflowerblue", label="max_depth=1", linewidth=2) plt.plot(X_test, y_2, color="yellowgreen", label="max_depth=3", linewidth=2) plt.plot(X_test, y_3, color=red, label=liner regression, linewidth=2) plt.xlabel("data") plt.ylabel("target") plt.title("Decision Tree Regression") plt.legend() plt.show()
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