繼續上次的討論。IMHO，這裡有個有趣的問題：

假設某圖靈機可輸出一系列數 ，定義 ，如何快速判斷 是否屬於 ？

上述數可以來自於數點（etale上同調 / Galois 表示），表示論（moonshine），等等。

最直接的想法是，能不能根據模形式的定義，計算 在 下的變換情況是否合格？很遺憾，這是算不了的。

那麼是否需要用暴力的方法，算 的基？這是可以算的，對於 時電腦也會算。對於 的情況比較微妙，目前還沒有維數公式，因此我不知道電腦能不能保證算出來。大部分是 theta series，當然也有不是的。Kevin Buzzard 算了不少，例如 的 splitting field 對應 N=633，在 (icosahedral)表示中擁有最小的 N。

這個問題其實有一個簡單的數值驗證方法，電腦也會算，而且不用編程，我們在後續討論。這次回顧一些經典理論。

4.1 級 N 的模形式的函數方程

對於 cusp form f，這是常用的 Mellin 變換公式：

考慮 Atkin-Lehner (Fricke) involution（注意，這裡比傳統定義多一個 ，最終得到的函數方程更美觀）：

易證 ，且它能保留 和 ，即， 仍然在 所在的矢量空間中。那麼 Atkin-Lehner involution 的 eigenvalue 只可能是 。

在 上，它與 Hecke 運算元 commute，因此此時 Hecke eigenform 的 Atkin-Lehner eigenvalue 是 。具體是多少，並不容易算，可以從 local 的 Atkin-Lehner involution 算。

而根據 BSD 猜想，（在用傳統定義時）這個 eigenvalue 應該是 ，其中 rank 是對應的橢圓曲線的 rank。可見這個事情很玄，它也與 class number 有關。

對於 就不一定 commute 了，此時有 pseudo-eigenvalue，即，在作用後 變成了 ，也有個變換的係數 ，係數的模 = 1。

注意到：

因此，定義：

則（注意如前所述這裡的 定義包括了 ）：

4.2 加入 twist

我們後續也會用到有 nebentypus 和 twist 的情況，一方面是因為 Weil 的 converse 定理，一方面是因為我們會考慮 k=1 的情況，此時是「一元方程 => 」。

對於 ，我們用 primitive character 把它 twist 一下。這裡 的 conductor 為 N， 的conductor 為 D，且要求 (D, N) = 1，以簡化問題。則 。

考慮 。

定義：

則（注意如前所述這裡的 定義包括了 ）：

其中 G 是 Gauss sum。注意這裡的係數的模 = 1。

為什麼我們要算函數方程，待續。

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