為什麼我的數學成績無法提高
此文寫給那些學習很努力，但數學成績沒有進步的孩子們
李澤宇 本質教育CEO
為什麼寫這篇文章 - 我犯的錯誤：
最開始我成立本質教育並教授高中數學，是因為我認為現有的高中數學教育是非常有問題的：數學變得死記硬背，學生沒有學到創造性的解題（解決他們從所未見的問題）的思維和能力，從而導致長大了容易「高分低能」。（我在滙豐工作期間，遇到的一些從世界一流大學畢業的孩子，做老師教過的，老闆教過的問題，勤勤懇懇。但要他們給他們一個探索性的項目，往往無從下手。）
我本來想：我把數學哲學（數學家是如何思考來解決問題的）以及我從裡面總結的數學三招教給學生了，那麼高考難度的數學不就是小菜一碟嗎？（關於數學哲學和數學三招，參考我的另外一篇文章： ）
後面我發現，事情沒有這麼簡單。為此我寫了這篇文章，希望能對同學們所助益：
1. 基礎（定義，定理）不紮實
我當年學數學的時候，沒有這個毛病。但隨著我接觸的孩子越來越多，我發現很多孩子很努力，但是根本不會學習，尤其是不會仔細體會和品味這些理科的概念。他們很努力，拚命刷題，但仍然對這些概念一知半解。甚至還有同學質疑，說「不用掌握概念我也可以做題」。是的，你的確可以做一部分題，但題目一變，你就完蛋。
很多同學這題做不出來。我結合數學三招來解答：
首先，解決數學問題，我們不喜歡中文，要「翻譯」為數學語言，例如畫張圖（幾何語言）
因此這道題的第一問一點都不難，如果你對於橢圓的定義不熟悉，你即使會數學思維「翻譯」，知道要把中文翻譯為數學語言，你也無從下手！
請記住：如果說數學思維就像是成為米其林三星大廚需要具備的手藝的話，那麼基礎知識就是備菜。巧婦難為無米之炊，如果你的米沒有洗好，肉沒有切好，鍋沒有洗乾淨，你的技藝再高超，也不可能做好一道菜。
那基礎概念應該如何學習呢？
（1） 精讀
其實數學也好，科學（物理，化學等）也罷和詩歌是非常相似的，都是在試圖用最精鍊的語言表達：數學/科學是刻畫我們所處的外在環境-大自然的萬千現象，詩歌是刻畫我們的內心複雜的感情。
因此這樣的東西是沒有一個字是多餘的。一定要精讀，一個詞一個詞的理解，不要像小說一樣的去泛讀。
例如，我們剛剛講了什麼叫做橢圓，那你別急著看下文，思考一下什麼叫做雙曲線？
很多人的回答是：「到兩定點的距離之差等於定長的點的集合」，很遺憾這是錯的。
正確的答案是：「到兩定點的距離之差的絕對值等於定長的點的集合」，沒有了「絕對值」三個字，得出來的是雙曲線的一個分支。
如果我是高考命題人，我可以輕鬆出一道題目，就考這個基本概念，我估計又會「死掉」一大片。
學習物理又何嘗不是如此？例如什麼叫摩擦力？
同學們要學會精讀，並且理解這些定義和概念。你們高中課本的定義是這樣寫的：
阻礙物體相對運動（或相對運動趨勢）的力叫做摩擦力。
我們來一點一點的理解：
一個力是向量，因此你必須說清楚其大小和方向
首先是方向，摩擦力既然是」阻礙」，因此其方向是和相對運動方向相反的，也就是說和速度方向相反！那麼什麼叫做相對運動趨勢？即，假如沒有摩擦力，這個物體會如何動？摩擦力的方向就和這個運動方向相反。
那麼大小呢？分為靜摩擦和動摩擦兩種，靜摩擦用受力平衡來確定，而動摩擦力的大小=
這樣不就十分清楚了？以後遇到任何關於摩擦力的問題，你都可以輕鬆的利用上面的定義「翻譯」為物理中力的語言（物理模型），而後翻譯為數學語言，解之，即可。
（2） 費曼學習法
現階段，不要求大家使用類比等思維方式深層次地理解每一個概念背後的邏輯，然後表達得連一個小學生也聽得懂。
你只需要這樣做：
用自己的話，在一分鐘內把這個概念或者定理複述一遍。然後利用微信錄音，QQ錄音等錄下來，之後對比你講的和教科書上的內容。如果一致，那麼就說明你懂了，如果不一致，或者說不清楚，說不出來，那麼不好意思，你這個概念掌握得比較差。
我非常相信王陽明先生的「知行合一」四個字，知而不行就是未知。在你運用這些概念之前，最起碼的「行」就是能夠說得出來，連說都說不出來，談什麼知呢？
這也是用來自我檢驗基礎概念的極佳方法。
例如你自己問自己，高中階段證明線面垂直至少可以有5個不同的定理，你能很快把他們說出來嗎？如果不能，你就知道你的立體幾何的基礎不夠紮實。
（3）所有說不用複習基礎就可以提分的都是騙子
有一部分不負責任的人，為了賺錢，弄出一堆什麼「模板」「秒殺」，並宣稱「不用複習基礎就會做題」。聽起來特別牛，其實害人不淺。
首先，從邏輯上來說，你的思維方式再高明，你可能在兩個小時內倒推數學家幾百年確定的各種定義和定理嗎？
再者，這類模板秒殺我們金融上叫做「curve fitting」。他的模板只適合他精心挑選的一小類題目，題目一改，就陣亡。在高考題越來越靈活的今天，靠這些垃圾，考試如何能夠提高？未來更是誤人終生！
記住：天上不會掉餡餅，如果掉了，注意是騙局。
2. 不掐著時間做題
考試，無論你喜歡還是不喜歡，最大的特點就是有時間限制。因此，一個能拿高分的人一定是簡單的題目做得又快又對，這樣他/她才有時間思考難題。
因此，平常練習就應該掐著時間做。例如選擇填空題就盡量不要超5分鐘。如果超過了，就把它當做是錯題 – 運用數學三招思考，還有更加簡單的方法嗎 （例如特殊化）？我能總結什麼模式？我需要記憶什麼快速解答的公式嗎？
另外這樣練習也讓你十分熟悉考試的壓力和緊張感。真正考試的時候就不容易發揮失常。
3. 不會從錯誤中學習
我先定義以下什麼是錯題：
1. 做錯的題（包括3中：粗心，概念不清，以及邏輯問題，這三者一定要嚴格區分開來）
2. 不會做的題
3. 做得慢，沒有在規定時間做完的題
都是你的錯題。
很多同學遇到錯題，就掃一遍答案，看懂了，然後？然後就沒有然後了。
這樣的學習，恕我直言，你是在浪費題目和時間！這樣日積月累，你表面上很努力，不過只是在重複做無用功罷了。
記住：錯誤是一個人最大的學習之源！
我的一生最重要的原則，方法都是從錯誤（自己的+別人的）中學來的。正如孟子所言，聞過而喜。（我現在還沒有達到他的程度，出現問題我往往還是比較不爽的，達不到「喜」的程度）
那麼如何從錯誤中學習呢？我總結了以下反饋環
遇到錯誤，首先的就是要找原因。
例如，我的答案錯了，是為什麼？粗心，概念不清，還是邏輯不清？
例如有的同學在變換：
直接寫：
這不是粗心，而是邏輯不清。你沒有意識到你的變換不是充要變換，因為你捨去了一個限制條件（ ），因此會出現增根。
擴而廣之，你要知道，天下間所有的題目只有兩類，判斷題（包括證明題）和求解題。而求解題是求滿足某個條件的某未知數的取值範圍。必須是這個條件的充要變化才無增根，無失根，是完美的解。如果你轉化為其必要條件，例如上面的變化，那就記得要檢驗。
這樣，你對這個錯誤才真正學到東西了！
那麼做不出來，做得慢呢？記住，看懂答案為什麼是對的遠遠不夠，關鍵是你要弄清楚下一次你要如何想，才能把這道題又快又對地做出來 – 即解題思維是什麼
這個思維就是我提到的數學哲學和數學三招。 有的同學學了，還是解不出題目，你就要思考，是不是我對數學三招的理解不夠？首先我能用自己的話把數學三招說出來嗎？我有什麼技巧沒有掌握？
我用下面的例子具體來說明吧：
很多同學做不出這道題。注意，做不出來也是錯題！
然後他們去看答案，答案看懂了，就沒有然後了。這對你解題有意義嗎？一點意義也沒有。
關鍵是未來如何思考才能解決這樣的問題，思路在哪裡。
這題背後的思路就是我們的第二招，特殊化。
原則：證偽比證明容易得多（因為只需要找到一個反例即可），因此對於選擇題，很多時候我們可以用特殊的例子證偽三個選項，雖然我們沒有證明最後的選項是正確的，但只要這道題不是錯題，我們就可以選擇了。這是特殊化的一個運用。
對於這題來說，我希望找到符合前面絕對值不等式的 但和後面
矛盾的特殊值，怎麼辦？
首先，要和後面矛盾，一個臨界值就是10，因為若 中其中有一個是10，後面的不等式就錯了。這個就是我們的入手點。（技巧：特殊化的時候優先從極端，特殊的開始）
對於A,代入 ，發現
和其是對稱的，因此我們也取
（這又是一個技巧，對稱時候我們往往可以從相等的數開始，因為極端，特殊），然後取
就成功找到反例了。
對於B，代入 ，為了使得絕對值中很小，取
即可，又找到反例了
對於C，取 即可推翻
因此答案是D，我們無需在D上面浪費哪怕一秒鐘。
從這道題你就學會了特殊化思維中的很多技巧。這樣，每一題對你來說都有所得，然後你再在下一題中檢驗你的所得，很快，你的水平不就直線上升了？
關於錯誤，我還有很多推論，例如：領導力中的：一個不允許員工犯錯的領導不是好領導，一個不允許孩子犯錯的家長不是好家長
創業中：很多時候，犯錯在所難免，我們要加速犯錯的過程，犯小錯，學大道理
這些不是這篇文章的內容，有機會再寫一個文章細說。
我想同學們通過我的這篇文章應該學會如何學習。這篇文章的道理也適用於物理，化學，GMAT等的學習。希望大家數學進步！
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