哈密頓正則方程

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預備知識　拉格朗日方程

哈密頓量

　　我們定義一個系統的哈密頓量為

$\ egin{equation} H = sum_i dot q_i p_i - L end{equation}$ (1)

其中為拉格朗日量，為廣義坐標的共軛動量（見式 13 ）．

　　當等於系統動能減勢能時，哈密頓量等於系統能量．證明如下：將系統看做質點系，由於且與無關，有

$ewcommand{pdvTwo}[3][{}]{frac{partial^{#1}{#2}}{partial{#3}^{#1}}} ewcommand{pdv}[2][{}]{frac{partial^{#1}}{partial{#2}^{#1}}}\ egin{equation} p_i = pdvTwo{L}{dot q_i} = pdv{dot q_i} sum_j frac12 m_j dot{vec r}_j^2 = sum_j m_j dot{vec r}_j pdvTwo{dot{vec r}_j}{dot q_i} = sum_j m_j dot{vec r}_j pdvTwo{vec r_j}{q_i} end{equation}$ (2)

其中最後一步利用了式 28 ．所以式 1 中的求和項為

$ewcommand{pdv}[2][{}]{frac{partial^{#1}}{partial{#2}^{#1}}} ewcommand{pdvTwo}[3][{}]{frac{partial^{#1}{#2}}{partial{#3}^{#1}}} ewcommand{dvTwo}[3][{}]{frac{mathrm{d}^{#1}{#2}}{mathrm{d}{#3}^{#1}}}\egin{equation} sum_i dot q_i p_i = sum_j m_j dot{vec r}_j sum_i pdvTwo{vec r_j}{q_i}dvTwo{q_i}{t} = sum_j m_j dot{vec r}_j^2 = 2T end{equation}$ (3)