請問

你的厄多斯數是多少

大家都知道歐拉在數論、代數、微積分、力學、幾何學等方面都有著極大的貢獻，是數學史上最多產的數學全才，但是，今天超模君講的不是他，而是一位被稱為「20世紀的歐拉」的流浪數學家厄多斯（Paul Erdos）。

1913年，保羅?厄多斯出生於匈牙利首都布達佩斯。由於他的父母都是高中數學老師，厄多斯從小便能接觸到數學。

厄多斯還在蹣跚學步時，就能憑藉著日曆計算母親還有多久才能放假回家；4 歲時，就會心算3 位數乘4 位數的乘法，在不知道負數觀念情況下「發現」了負數，甚至能解答一些諸如乘火車去太陽需多長時間之類荒唐可笑的問題；10 歲時，父親告訴他「 質數有無窮多個」 的證明，從此他正式被數學所俘虜。

年幼的厄多斯萌萌噠

其實在厄多斯剛出生那會，一戰就爆發了，他的父親隨後便應徵入伍，只是很快就被俄軍俘虜並度過了六年的鐵窗生活。這六年間，由於厄多斯掌握的數學知識並不能很好地與學校教育對接，他的母親只好在家親自教導他。

六年過去了，厄多斯的父親活著回來了，厄多斯的猶太式家庭教育也開始了。與此同時，他的父親還為厄多斯帶來有關整數性質的數論知識，其中以素數為主。從此厄多斯和大多數數學神童一樣，對素數發生了無法驅散的興趣。

厄多斯的童年教育就這樣在家裡度過了，緊接著他就讀於父親執教的塞格德高中。此時的他喜歡上與同學比賽解答《中學數學》上的題目，並數次被刊登。雖然厄多斯擅長計算和解題，但是他對於論證數學性質正確性的邏輯推理更為著迷。

雜誌《中學數學》主要提供一些挑戰性的題目，並且把優勝者的照片刊登其上，而這些問題大多數屬於數論領域。

20世紀30年代，厄多斯（前二）在英國，

前三為我國數學家柯召

因此，17歲時，厄多斯已經了解畢達哥拉斯定理，同年，作為入學考試的NO.1進入了布達佩斯大學。布達佩斯大學是一所為匈牙利最聰明的年輕人提供數學及其它科學領域先進知識的大學，因此進入這所大學的厄多斯很快便如魚得水。

與其他新生只求功課合格相比，厄多斯已經開始構造他的新世界。

當時，切比雪夫證明了對於任意大於1的數字n，在n和2n之間至少存在一個素數，而18歲的厄多斯卻發現了一種更簡單明了的證明，還擴展了定理內容：如果n>7，則在n與2n之間至少存在兩個4k+1，4k+3形式的素數。

這個證明形成的論文就是他一生中第一篇數學論文，而這個證明則被喻為開鑿了巴拿馬運河，解除了必須繞道南美洲的麻煩。

厄多斯的大腦從來沒有停止過思考數學問題。

第二年，他發現了一種證明西爾維斯特和思徹已經證明的關於過剩數分布定理的新方法，也成為了思徹口中的「布達佩斯魔法師」。藉助這兩個新發現，厄多斯在入學兩年後就成功獲得了數學博士學位。

1934年，獲得博士學位的厄多斯坐上了前往英國的火車，開始了他人生中第一回數學旅行。然而頭一次離家的厄多斯因為疲於應對火車上的瑣事，十分渴望能夠與他人進行數學交流。

於是路過瑞士，他第一次敞開了大腦—在蘇黎世拜訪了一位數學家；抵達劍橋大學時，他又一次敞開了大腦，在三一學院與數學同行進行了長時間的學術探討。

然後第二天，發生了件讓他終生難忘的事。那一天，21歲的厄多斯學會了把黃油塗在麵包上，而在十年前，他第一次給自己系了鞋帶。

很明顯，跟大部分數學天才一樣，厄多斯的生活能力極為不足，而造成如此窘境其實是因為家中的寵溺。

其實在厄多斯即將到來這個世界前，席捲布達佩斯的猩紅熱帶走了他的兩個姐姐，因此他作為家中唯一的孩子，集萬千寵愛於一身，他的母親更是全方位地照顧他，甚至是他四處遊歷的旅伴。

厄多斯與母親

這位「小皇帝」厄多斯雖然在英倫待了四年，但是他愛上了和別人交流數學時的愉悅感，於是常常遊盪在曼徹斯特、劍橋、倫敦或其他大學城之間，與其他數學家一起研討數學，幾乎沒有連續一周在同一張床上睡過覺。

而造成這樣的最直接原因就是他在布達佩斯大學時養成了與朋友討論的習慣，而這個習慣對他一生專業研究的方式有著持久的影響力。

在布達佩斯大學，厄多斯認識了一群經常在公園裡的雕像前聚集或是徒步到野外研究數學問題及其證明的學生。受其影響，他也常與朋友們一起討論他的想法，以確定是否對解題或證明命題有所幫助，還會研究一本著名數學分析習題集中的題目。

這四年間，厄多斯通過與多位研究者合作一共產生了46篇論文，其中大多數是關於數論的。而研究者主要包括了保羅·圖然、喬治·塞克斯、依斯瑟·克萊因、查理德·雷達以及我國數學家柯召等等。

雖然厄多斯四年里一直在遊歷英倫各地，但是他每年要回布達佩斯三次，看望雙親和老朋友。

有一次，Vázsuoni正研究一個圖論問題，還找到了此問題的必要條件，此時恰逢厄多斯回家探親。於是Vázsuoni便打電話告訴了厄多斯，結果二十分鐘之後厄多斯把充分條件找到了還回電告訴他，讓Vázsuoni懊悔不已，因為這樣的話他只好與厄多斯合作完成論文了，而他也因此擁有了為1的厄多斯數。

這個厄多斯數其實是數學界中流傳的一個玩笑，即每個數學家都能獲得一個厄多斯數用以說明他距離厄多斯有多遠。比如厄多斯的厄多斯數是0；曾與厄多斯共同發表過論文的數學家的厄多斯數是1；沒有與厄多斯合作過而與厄多斯合作者合作過的為2......以此類推。而在厄多斯活著的年代，任何一位著名數學家的厄多斯數不會超過10。

1938年，歐洲因為二戰而處於水深火熱當中，而厄多斯又剛好是猶太人，因此他只好逃到了美國普林克頓。這一年在厄多斯看來是他學術生涯最為成功的一年。

他證明了任意多個連續正整數之積不會是一個完全平方數；和卡茨得到了厄多斯-卡茨定理； 建立了概率數論；證明了連續整數的乘積不可能是一個平方數等等。

厄多斯-卡茨定理：小於N的整數所含的不同素因子個數與一枚硬幣拋N次正面向上的次數遵守同樣的曲線分布，這個結論表明整數規則的表面背後實際上隱藏著混亂。

這一年，對於厄多斯來說，既是成功的一年也是失敗的一年。

厄多斯本可以憑藉在概率數論、逼近論、維數理論方面的出色成果獲得一個終身職位，但是當時的數學界並沒有重視他的成果，加上麥卡錫主義盛行，厄多斯因為和華羅庚通信而遭到安全部門的懷疑，被迫離開了普林斯頓。

從那以後，他便真正成為了浪跡天涯的流浪者。一隻破衣箱和一個土黃色塑料包就是他的全部家當，而飛機、火車、旅館和遍布世界各地的朋友的家便是他的棲身之處了。

1940-1954年，厄多斯先後在賓夕法尼亞大學、普渡大學、密歇根大學、聖母瑪利亞大學短暫任職，還邊遊歷北美邊發表講座賺錢，繼而拜訪數學界的小夥伴們。每到一個地方，他都能一連幾天埋頭於熱烈的研討會中。

他有一次到UCLA（加州大學洛杉磯分校）訪問的時候，去和他討論的人擠了一屋子，他和每個人同時討論不同的問題，就象國際象棋高手同時和多人對弈一樣。

厄多斯在講學

14年間，他平均每年寫40篇論文，並與近20位新的研究人員合作，甚至每年還通過寫信和寄明信片千餘張與世界各地的同行交流。每次他到達一個數學家的家中做短暫訪問時，他總會以他的名言給予問候：「另一張房頂，又一個證明。」

當時很多數學家都習慣於獨自沉思，厄多斯則不然，他從不吝嗇於把自己的新奇想法告訴別人，也不怕別人剽竊他的觀點。正因如此，使得全世界四大洲的數學家都義不容辭地照顧他，就如同自己為數學盡義務一般。

因此住在數學家朋友做訪問時，他都會心安理得地接受朋友家為他提供的吃飯、睡覺、交通的「服務」。而當朋友實在忍受不了讓厄多斯離開的時候，他也不會覺得被侮辱。

厄多斯在討論

1949年，厄多斯做出了整個職業生涯中最輝煌的發現—他和西爾伯格共同發現了質數定理的一個更為簡潔的證明，可惜的是他們之間因為懷疑對方的學術抄襲而爭得面紅耳赤，在一定程度上玷污了這個光輝的成就，也玷污了他一直抱有的信念。

質數定理：對於任意正整數n，小於n的質數的個數約為n/lnn個

雖然厄多斯到世界各地的遊歷看似很瀟洒，實際上在很多時候是受到了很多的限制。

在二戰期間，厄多斯回家探親都受到了政府的嚴格管制。1941年，他還與斯通、角谷靜夫因所謂的非法侵入紐約長島上的一個軍用雷達設備區而吃了一段時間的牢飯；甚至在1954-1963年間，美國政府直接拒絕他入境。

一直遊盪在世界各地的厄多斯沒有一個固定的職位，也沒有一個固定的住處，甚至沒有結婚。而他的父親去世後，母親就跟著他度過了一年又一年的「處處無家處處家」的流浪生活，成為了他最忠實的旅伴。

他的母親曾經幫助收集整理他的學術論文達20年，並頻繁地把這些材料寄給需要他們的人，直到1971年以90歲高齡去世。

而厄多斯的母親去世後，原先的職責由格林漢姆和陳凡擔任，並接收郵件的傳遞、整理、簽證、繳稅甚至於厄多斯的日程安排。

正因為身邊一直有人妥善安排厄多斯的生活，才使得他將生命中的每一分鐘都貢獻給數學。他常常凌晨5點起床，持續工作19個小時，其間偶爾會小睡片刻。

甚至在做白內障手術時，還曾乞求醫生讓他在手術期間用另一隻眼睛閱讀文獻，當然後來變成了與一位數學家探討數學。

每當有人勸他注意休息時，他總說：「墳墓里有的是休息時間。」

讓厄多斯如此拚命的原因只是因為他在小時候突然意識到人終究是要死的。因此讓厄多斯一生都對時間有一種恐懼，但這種恐懼也促使他惜時如金。

不久，厄多斯憑藉初等方法證明了古老的素數定理，讓他在1984年獲得了沃爾夫獎，共5萬美元。有錢在手，厄多斯又能「揮金如土」了。他把沃爾夫獎中的3萬美元捐獻出去，剩下的也送出了絕大部分，只留下720美元供自個日常使用。

1996年秋，厄多斯拖著病軀參加了華沙的一個學術會議，他在會上發表了關於組合論的成果。會後突發心臟病，享年83歲，而他的離去剛好證明了自己的最後一個猜想。

他的最後一個猜想是和自己的死亡有關。晚年的厄多斯深受心臟病困擾，他猜想自己會這樣死去：他正在進行一次講學，向眾人講解自己的最新成果，觀眾中將會有人大聲問他：「你說的是特例，那一般情形是怎樣的呢？」厄多斯將答道：「這個問題就留給下一代解決吧！」然後他就與世界告別了。

厄多斯一生中署名的數學論文就有1521篇，其中1100篇至少有一位合作者，使得他成為了史上最多產的研究者，也讓數學家們意識到了合作研究的必要性。他，是20世紀數學的定義者之一。

本文由超級數學建模編輯整理

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