Zone2的J1表面覆蓋機翼的下表面，Zone3的J1表面覆蓋機翼的上表面。所有Zone的K1表面都在對稱平面上， KMAX邊界在它們包圍翼尖時彼此耦合。Zone1的I1表面和Zone4的IMAX表面是出口邊界。所有區域的JMAX表面都在遠場邊界上。圖3顯示了機翼表面和尖端的網格。網格圍繞機翼表面聚集以解析邊界層。

本次計算需要將plot3d格式網格，轉換為OpenFOAM求解器能夠讀取的網格存儲格式。我們採用Pointwise V18.1 R1軟體進行格式轉換。具體步驟如下：

（1）用文本編輯器（推薦採用notepad++）打開m6wing.x.fmt，將其中的逗號全部替換為空格，將文件保存為m6wing.x;

（2）打開Pointwise V18.1 R1軟體，導入網格，具體操作見下圖;

（3）將求解器設置為OpenFOAM，並設置邊界條件；

（4）對網格進行縮放。

（5）輸出結果。

3.OpenFOAM求解器參數設置

結合定常求解器rhoSimpleFoam和非定常求解器rhoCentralFoam計算M6機翼三維流場。首先，採用rhoSimpleFoam計算NS方程，獲得流場初始解。然後，再用rhoCentralFoam計算URANS方程（採用SST湍流模型），待流場穩定後，即獲得最終流場。

3.1 rhoSimpleFoam求解器設置

rhoSimpleFoam是OpenFOAM中一個基於壓力的可壓縮穩態求解器。所有OpenFOAM求解器設置都需要準備三種文件，分別是0文件，constant文件和system文件。0文件中包含流場中各物理量的初始值和邊界條件。constant文件中包含網格信息和物性參數。system文件中包含求解器相關參數。

（1）0文件

0文件夾中需要準備p,T,U,alphat和nut五個文件。這五個文件的內容可參考OpenFOAM自帶的相關案例。修改好的文件內容如下:

p文件如下所示。其中pOut為來流靜壓，遠場採用freestreamPressure條件，對稱面為symmetryPlane條件，壁面為zeroGradient條件。

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
| \ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox |
| \ / O peration | Version: v1806 |
| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.com |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class volScalarField;
object p;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
pOut 8.353085E+04;
dimensions [1 -1 -2 0 0 0 0];
internalField uniform $pOut;
boundaryField
{
farfield
{
type freestreamPressure;
freestreamValue uniform $pOut;
}
sym
{
type symmetryPlane;
}
wall
{
type zeroGradient;
}
#includeEtc "caseDicts/setConstraintTypes"
}

// ************************************************************************* //
T文件如下所示。其中Tinlet為來流靜溫，遠場採用inletOutlet條件，對稱面為symmetryPlane條件，壁面為zeroGradient條件。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
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| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class volScalarField;
object T;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
Tinlet 2.629383E+02;
dimensions [0 0 0 1 0 0 0];
internalField uniform $Tinlet;
boundaryField
{
farfield
{
type inletOutlet;
inletValue uniform $Tinlet;
value $inletValue;
}
sym
{
type symmetryPlane;
}
wall
{
type zeroGradient;
}
#includeEtc "caseDicts/setConstraintTypes"
}
// ************************************************************************* //
U文件如下所示。其中Uinlet為來流速度矢量，遠場採用freestream條件，對稱面為symmetryPlane條件，壁面為noSlip條件。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
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| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class volVectorField;
object U;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
Uinlet (2.724789E+02 1.456615E+01 0.000000E+00);
dimensions [0 1 -1 0 0 0 0];
internalField uniform $Uinlet;
boundaryField
{
farfield
{
type freestream;
freestreamValue uniform $Uinlet;
value uniform $Uinlet;
}
sym
{
type symmetryPlane;
}
wall
{
type noSlip;
}
#includeEtc "caseDicts/setConstraintTypes"
}

// ************************************************************************* //
alphat文件如下所示。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
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| \ / O peration | Version: v1806 |
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| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class volScalarField;
object alphat;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
dimensions [1 -1 -1 0 0 0 0];
internalField uniform 0;
boundaryField
{
farfield
{
type calculated;
value uniform 0;
}
sym
{
type symmetryPlane;
}
wall
{
type compressible::alphatWallFunction;
value uniform 0;
}
#includeEtc "caseDicts/setConstraintTypes"
}

// ************************************************************************* //
nut文件如下所示。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
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| \ / O peration | Version: v1806 |
| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.com |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class volScalarField;
object nut;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
dimensions [0 2 -1 0 0 0 0];
internalField uniform 0;
boundaryField
{
farfield
{
type calculated;
value uniform 0;
}
sym
{
type symmetryPlane;
}
wall
{
type nutkWallFunction;
type nutkWallFunction;
value uniform 0;
}
#includeEtc "caseDicts/setConstraintTypes"
}
// ************************************************************************* //

（2）constant文件

constant文件夾中需要準備thermophysicalProperties，turbulenceProperties和polyMesh網格文件。其中，thermophysicalProperties和turbulenceProperties的編寫可參考OpenFOAM自帶的相關案例，polyMesh網格文件直接由PointWise軟體輸出。修改好的文件內容如下:

thermophysicalProperties主要包含流體的屬性參數，一般不作修改，文件內容如下所示。

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
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| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
location "constant";
object thermophysicalProperties;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
thermoType
{
type hePsiThermo;
mixture pureMixture;
transport const;
thermo hConst;
equationOfState perfectGas;
specie specie;
energy sensibleInternalEnergy;
}

mixture // air at room temperature (293 K)
{
specie
{
nMoles 1;
molWeight 28.9;
}
thermodynamics
{
Cp 1005;
Hf 0;
}
transport
{
mu 1.82e-05;
Pr 0.71;
}
}
// ************************************************************************* //
turbulenceProperties文件主要對湍流模型進行設置，採用的湍流模型為liminar，文件內容如下所示。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
| \ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox |
| \ / O peration | Version: v1806 |
| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.com |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
object turbulenceProperties;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
simulationType laminar;
// ************************************************************************* //

（3）system文件

system文件夾中需要準備fvSchemes，fvSolution，controlDict，fvOptions，residuals等文件。其中，前三個文件是必須提供的文件。上述文件的編寫均可參考OpenFOAM自帶的相關案例。修改好的文件內容如下:

fvSchemes文件主要對求解器採用的數值離散格式進行設定，由於M6涉及激波等超聲速流動，且rhoSimpleFoam這一求解器穩態求解器對數值格式較為敏感，對流項選用1階迎風格式。具體設置如下所示。

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
========= |
\ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox
\ / O peration | Website: https://openfoam.org
\ / A nd | Version: 6
\/ M anipulation |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
object fvSchemes;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //

ddtSchemes
{
default steadyState;
}

gradSchemes
{
default Gauss linear;
limited cellLimited Gauss linear 1;
grad(U) $limited;
grad(k) $limited;
grad(omega) $limited;
grad(epsilon) $limited;
}

divSchemes
{
default none;
div(phi,U) bounded Gauss upwind;
turbulence bounded Gauss upwind;
energy bounded Gauss upwind;
div(phi,k) $turbulence;
div(phi,omega) $turbulence;
div(phi,epsilon) $turbulence;
div(phi,e) $energy;
div(phi,K) $energy;
div(phi,Ekp) $energy;
div(phid,p) Gauss upwind;
div((phi|interpolate(rho)),p) bounded Gauss upwind;
div(((rho*nuEff)*dev2(T(grad(U))))) Gauss linear;
}

laplacianSchemes
{
default Gauss linear limited corrected 0.5;
}

interpolationSchemes
{
default linear;
}

snGradSchemes
{
default limited corrected 0.5;
}

// ************************************************************************* //
fvSolution文件主要迭代過程及收斂準則等方面進行設置，設置參數如下所示。其中，pRefPoint為壓力參考點坐標位置，一般設置在遠場邊界附近。pRefValue為壓力參考值，一般設置為來流靜壓。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
========= |
\ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox
\ / O peration | Website: https://openfoam.org
\ / A nd | Version: 6
\/ M anipulation |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
object fvSolution;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //

solvers
{
p
{
solver PCG;
preconditioner DIC;
tolerance 1e-6;
relTol 0.001;
}

"(U|e)"
{
solver PBiCG;
preconditioner DILU;
tolerance 1e-6;
relTol 0.0001;
}

"(k|omega|epsilon)"
{
solver PBiCG;
preconditioner DILU;
tolerance 1e-6;
relTol 0.0001;
minIter 3;
}
}

SIMPLE
{
residualControl
{
p 2e-5;
U 1e-7;
"(k|omega|epsilon|e)" 1e-6;
}
pRefPoint (-6.528 -0.261 4.41);
pRefValue 8.353085E+04;
nNonOrthogonalCorrectors 0;
pMinFactor 0.1;
pMaxFactor 2;
rhoMin rhoMin [1 -3 0 0 0] 0.001;
rhoMax rhoMax [1 -3 0 0 0] 10.0;
}
relaxationFactors
{
fields
{
p 0.3;
rho 0.01;
}
equations
{
U 0.6;
e 0.6;
"(k|omega|epsilon)" 0.1;
}
}

// ************************************************************************* //
controlDict文件主要對求解過程進行設定。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
========= |
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\ / O peration | Website: https://openfoam.org
\ / A nd | Version: 6
\/ M anipulation |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
object controlDict;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //

application rhoSimpleFoam;
startFrom startTime;
startTime 0;
stopAt endTime;
endTime 2000;
deltaT 1;
writeControl timeStep;
writeInterval 1000;
purgeWrite 0;
writeFormat binary;
writePrecision 8;
writeCompression off;
timeFormat general;
timePrecision 6;
runTimeModifiable true;
functions
{
#includeFunc MachNo
#includeFunc residuals
}

// ************************************************************************* //
fvOptions文件中包含一些不常用的參數設定。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
========= |
\ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox
\ / O peration | Website: https://openfoam.org
\ / A nd | Version: 6
\/ M anipulation |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
object fvOptions;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
limitT
{
type limitTemperature;
min 101;
max 1000;
selectionMode all;
limitTemperatureCoeffs
{
selectionMode all;
Tmin 101;
Tmax 1000;
}
}

//************************************************************************** //
residuals文件主要對殘差信息進行設置。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
========= |
\ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox
\ / O peration | Website: https://openfoam.org
\ / A nd | Version: 6
\/ M anipulation |
-------------------------------------------------------------------------------
Description
For specified fields, writes out the initial residuals for the first
solution of each time step; for non-scalar fields (e.g. vectors), writes
the largest of the residuals for each component (e.g. x, y, z).
*---------------------------------------------------------------------------*/
#includeEtc "caseDicts/postProcessing/numerical/residuals.cfg"
fields (p U e k omega);
// ************************************************************************* //

（4）程序執行

在cas文件所在目錄下，直接輸入rhoSimpleFoam即可。

3.2 rhoCentralFoam求解器設置

rhoCentralFoam是OpenFOAM中一個基於密度的可壓縮求解器，適合計算跨、超聲速非定常問題。rhoCentralFoam求解器設置同樣需要準備三種文件，分別是0文件，constant文件和system文件。

（1）0文件

直接將rhoSimpleFoam的層流計算結果拷貝過來，當作rhoCentralFoam的初始條件和邊界條件。需要拷貝的文件包括rho,p,T,U,alphat和nut六個文件。此外，還需要編寫k和omega以滿足SST湍流模型的計算。

k文件設置如下。

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
| \ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox |
| \ / O peration | Version: 4.0 |
| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.org |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format binary;
class volScalarField;
location "2000";
object k;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
dimensions [0 2 -2 0 0 0 0];
internalField uniform 0.01;
boundaryField
{
farfield
{
type inletOutlet;
inletValue uniform 0.01;
value uniform 0.01;
}
sym
{
type symmetryPlane;
}
wall
{
type kqRWallFunction;
value uniform 0.01;
}
}

// ************************************************************************* //
omega文件設置如下。
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
| \ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox |
| \ / O peration | Version: 4.0 |
| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.org |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format binary;
class volScalarField;
location "2000";
object omega;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
dimensions [0 0 -1 0 0 0 0];
internalField uniform 10;
boundaryField
{
farfield
{
type inletOutlet;
inletValue uniform 10;
value uniform 10;
}
sym
{
type symmetryPlane;
}
wall
{
type omegaWallFunction;
Cmu 0.09;
kappa 0.41;
E 9.8;
beta1 0.075;
value uniform 10;
}
}
// ************************************************************************* //

（2）constant文件

constant文件夾可直接複製rhoSimpleFoam案例中相關內容。僅需對turbulenceProperties文件進行適當修改，將層流模型改為SST湍流模型。

修改後的turbulenceProperties文件內容如下:

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
| \ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox |
| \ / O peration | Version: v1806 |
| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.com |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
object turbulenceProperties;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //

simulationType RAS;
RAS
{
RASModel kOmegaSST;
turbulence on;
printCoeffs on;
}

// ************************************************************************* //

（3）system文件

更換求解器後，需要對求解器的數值格式、迭代方法、求解過程等重新進行設置。具體修改如下：

由於SST湍流模型中需要得到壁面距離這一參數，fvSchemes文件增加了壁面距離wallDist的相關設置，具體內容如下。

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
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| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.org |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
location "system";
object fvSchemes;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
fluxScheme Kurganov;
ddtSchemes
{
default Euler;
}
gradSchemes
{
default Gauss linear;
}
divSchemes
{
default none;
div(tauMC) Gauss linear;
div(phi,k) Gauss upwind;
div(phi,omega) Gauss upwind;
}
laplacianSchemes
{
default Gauss linear limited corrected 0.5;
}
interpolationSchemes
{
default linear;
reconstruct(rho) Gamma 1;
reconstruct(U) GammaV 1;
reconstruct(T) Gamma 1;
}

snGradSchemes
{
default limited corrected 0.5;
}

wallDist
{
method Poisson;
}
// ************************************************************************* //

fvSolution文件同樣增加了壁面距離yPsi的相關設置，具體內容如下。

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
| \ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox |
| \ / O peration | Version: 4.0 |
| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.org |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
location "system";
object fvSolution;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
solvers
{
"(rho|rhoU|rhoE)"
{
solver diagonal;
}
U
{
solver smoothSolver;
smoother GaussSeidel;
nSweeps 2;
tolerance 1.0E-6;
relTol 0.1;
}
"(e|k|omega|h)"
{
$U;
tolerance 1.0E-4;
relTol 0.1;
}
yPsi
{
solver PCG;
preconditioner DIC;
tolerance 1e-6;
relTol 0;
}
}
// ************************************************************************* //

controlDict文件設置如下。受格式穩定性影響，rhoCentralFoam不能太大。OpenFOAM自帶案例中一般推薦最大CFL數（maxCo）為0.2。本案例中，將maxCo設定為0.4。

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*
| ========= | |
| \ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox |
| \ / O peration | Version: 4.0 |
| \ / A nd | Web: www.OpenFOAM.org |
| \/ M anipulation | |
*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
location "system";
object controlDict;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
application rhoCentralFoam;
startFrom latestTime;
startTime 0;
stopAt endTime;
endTime 0.03;
deltaT 0.2E-6;
writeControl adjustableRunTime;
writeInterval 0.0002;
purgeWrite 0;
writeFormat binary;
writePrecision 6;
writeCompression off;
timeFormat general;
timePrecision 6;
runTimeModifiable true;
adjustTimeStep yes;
maxCo 0.4;
maxDeltaT 1;
// ************************************************************************* //

4.計算結果分析

4.1壓力係數分布

(b)

圖 4 M6機翼表面壓力分布雲圖：（a）rhoSimpleFoam（b）rhoCentralFoam

1. Z/b=0.20
2. Z/b=0.44

1. Z/b=0.65
2. Z/b=0.80

1. Z/b=0.90
2. Z/b=0.95

1. Z/b=0.99

圖 5 M6機翼表面壓力分布計算結果（rhoSimpleFoam）與試驗結果對比

1. Z/b=0.20
2. Z/b=0.44

1. Z/b=0.65
2. Z/b=0.80

1. Z/b=0.90
2. Z/b=0.95

1. Z/b=0.99

圖 6 M6機翼表面壓力分布計算結果（rhoCentralFoam）與試驗結果對比

圖4到6分別給出了rhoSimpleFoam和rhoCentralFoam計算得到的壓力分布曲線和雲圖。從圖中可以看出，rhoCentralFoam計算得到的壓力分布與試驗結果相比基本吻合，而rhoSimpleFoam與試驗結果相比則存在較大差異。計算結果的差異主要在於前緣負壓區和激波附近。由於rhoSimpleFoam對數值格式極其敏感，本次計算中僅採用了一階迎風格式，從而導致壓力分布在激波處過渡十分平滑，難以捕捉到清晰的激波結構。

4.2激波特徵

(a) (b)

圖 7 M6機翼上表面激波結構：（a）rhoSimpleFoam（b）rhoCentralFoam

通過提取馬赫數等值面（Ma=1.12）的方法獲得M6機翼上表面激波結構。從圖中可以看出，rhoCentralFoam求解器獲得了清晰的λ激波結構，而rhoSimpleFoam求解器則僅捕捉到了前緣和翼尖的激波，位於機翼中部的激波則完全沒有捕捉到。

4.3物面流態

(a)

(b)

圖 8 M6機翼表面物面極限流線：（a）rhoSimpleFoam（b）rhoCentralFoam

圖8繪製了兩種求解器計算得到的機翼表面物面極限流線。結果顯示，儘管機翼上表面出現了激波/邊界層干擾現象，但是未出現明顯的流動分離現象。

5.結論

（1）rhoCentralFoam求解器是OpenFOAM中唯一的一款基於密度的求解器。跨聲速M6機翼流場計算結果顯示，該求解器獲得的壓力分布與試驗結果基本吻合，能夠清晰地捕捉激波、局部然而，由於rhoCentralFoam採用半隱式(semi-implicit)分離(segregate)演算法，對CFL數有較大限制，實際應用中最大CFL數要求在0.2-0.4以內，導致時間推進速度十分較慢，計算效率與Runge-Kutta顯式時間推進方法接近。本算例中，最大CFL數（maxCo）為0.4，對應時間推進步長為1.4e-8秒，總推進時間約為3.4e-2秒後計算收斂，需完成約2.4e+6步非定常時間推進。

（2）rhoSimpleFoam作為一款定常求解器，能夠較為快速的獲得流場計算結果。但是由於該求解器對數值格式極其敏感，難以獲得二階及二階以上高精度收斂解。

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