在上一次写完《函数不等式大招——凹凸性反转~》之后，还有知友问有没有更多的例题讲解，加上上一篇文章的评论区有知友留言不等式和导数，我打算把三个放到一起，继续谈谈放缩~

先说明，以下例题均来源于海明大佬的文章，有兴趣的朋友可以看看原文，我节选部分例题解说~

未灬秋色：常见导数放缩题汇总及解答?

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谈到放缩，这里有四个小知识需要大家提前掌握：

一、ALG不等式：

frac{x_1+x_2}{2}>frac{x_1-x_2}{ln x_1-ln x_2}>sqrt{x_1x_2}

证明：不妨假设 x_1>x_2 ，令比值参量 t=frac{x_1}{x_2}>1

原式可变形为 ln x_1-ln x_2>frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}，可化简为齐次式 ln (frac{x_1}{x_2})>frac{2(frac{x_1}{x_2}-1)}{frac{x_1}{x_2}+1}

即： ln t>frac{2(t-1)}{t+1} 来证明不等式

令 f(t)=ln t-frac{2(t-1)}{t+1}(t>1) ，那么 f(t)=frac{(t-1)^2}{t(t+1)^2}>0 ， 那么 f(t)>f(1)=0 ，

同理，我们对于 frac{x_1-x_2}{ln x_1-ln x_2}>sqrt{x_1x_2}，可变形为 frac{x_1-x_2}{sqrt{x_1x_2}}>ln x_1-ln x_2

化简为齐次式 ln frac{x_1}{x_2}<sqrt{frac{x_1}{x_2}}-frac1{sqrt{frac{x_1}{x_2}}}

则可以通过证明 ln t<sqrt{t}-frac1{sqrt{t}} 来证明不等式

作 g(t)=ln t-sqrt{t}+frac1{sqrt{t}}(t>1)，那么 g(t)=frac{(sqrt t-1)^2}{2tsqrt t}>0

那么 g(t)>g(1)=0

则原不等式得证。

若我们运用ALG不等式，加上基本不等式及其变形： sqrt{frac{a^{2}+b^{2}}{2}}geqfrac{a+b}{2}geqsqrt{ab}geqfrac{2}{frac{1}{a}+frac{1}{b}}(a>0,b>0) ，当且仅当 a=b 时取等。

我们可以得到以下放缩不等式（偶尔大题第三问的证明可能会见到其变式）：

2(frac{a-b}{a+b})<ln a-ln b<frac{sqrt{ab}}{b}-frac{sqrt{ab}}{a}<frac{a^{2}-b^{2}}{2ab}

若令 b=1 ，可得 2(frac{a-1}{a+1})<ln a<sqrt{a}-frac{sqrt{a}}{a}<frac{a^{2}-1}{2a} .

二：凹凸性反转

这个技巧还是参考我之前的一篇文章吧，在此不做展开~

槿灵兮：函数不等式大招——凹凸性反转~?

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三：切线放缩

这个技巧还是参考 @Dylaaan 之前的一篇文章吧，写得很好~

Dylaaan：【导数压轴题】切线？可以放缩？?

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四：端点放缩

@未灬秋色 海明大佬曾经在他的一篇文章上面提出了这个想法：

有一种办法叫做界性放缩.

界性放缩的意思就是，某个部分，在某个范围内有界，就直接放成它的界.这样做的目的在于减少变数，因为界是固定的，放成界就是放成了定值.

未灬秋色：考前写点「有用」的东西?

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五：偏导放缩

之前 @Dylaaan 曾经提出了一个运用偏导数的思想，换主元变数的放缩方法，很有效：

Dylaaan：【导数压轴题】「偏导数」与含参不等式?

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六：不等式串串

e^{x}-1geq x geq ln(x+1) geq frac{x}{x+1}(xgeq 0) ，且在 x=0 处取得等号。

希望大家能先看完以上文章，掌握其中的技巧，之后我们开始正式的析题：

由此题而言，有两个技巧：

1. x>0：x^{2}-xgeq x-1 ，在 x=1 时取等.

这个移项运用完全平方公式即证，它的好处在于降次~

2. x>0：x-1geq ln x ，在 x=1 时取等.

这个是上面不等式串串的第二三项的运用，大家要学会灵活变通不等式串串~

由此题而言，有两个技巧：

1. x>0：e^{x}geq ex+(x-1)^{2} ，在 x=0或x=1 时取等.

这个在遇到含有 e^{x} 以及 ex 的式子里面使用能够直接放掉含有 e 的项，其实我们还可以放成： x>0：e^{x}geq x^{2}+1 ，在 x=1 时取等.

2. x>0：xln xleq x(x-1) ，在 x=1 时取等.

这个式子我们可以直接考虑题1的：x>0：x-1geq ln x ，在 x=1 时取等.

由此题而言，有一个技巧：

x>0：e^{x}+e^{-x}> x^{2}+2

其证明通过求导可以解决。

它比基本不等式多了一项，在一些高端的消去 e^{-x} 的放缩中常常使用.

我的想法是用不等式串串：

xe^{x-1}-2ln xgeq x^2-2ln x geq x^2-2(x-1)=x^2-2x+2

这样精简得多~

这个题我没什么太多想法，不过有下面这个式子：

x>0：e^{x-1}+xln xgeq x^2 ，在 x=1 时取等.

我们一样的用不等式串串（先对原式两侧同时除以 e ）：

(x^2-x)e^{frac{ln x}{x-1}-1}-ln xgeq(x^2-x)frac{ln x}{x-1}-ln x=xln x-ln xgeq xfrac{x-1}{x}-ln xgeqln x-ln x=0

上式在 x=1 时取等.

其中有一个很重要的式子：

x>0：xln xgeq ln x ，在 x=1 时取等.

对于这个的证明，法一运用的是分拆比较比值，是不等式的一种经典处理方式，法二运用的是泰勒展开式，在一些要考虑数值精度的放缩或者是带有大分母，高次分子的放缩，我们常常考虑泰勒展开式~

大家有兴趣不妨看看：

如何通俗地解释泰勒公式？ - 马同学的回答 - 知乎 zhihu.com/question/2114

这个和例13很相似，这里只是贴出来~

frac{pi}{2}>x>0：tanx>x>sinx

法1给了一个换元的奇妙方法，希望大家能够体会~

该题和上面题22一样，用到了换元的方法，还用到了不等式串串，合理的换元，能使得不等式的证明简化许多~

这个题的把三次放成二次可谓点睛之笔，有时候对局部的微调对整体的化简也能起到很棒的效果~

该题化简到最后便是我们最开始得到的： ln a>2(frac{a-1}{a+1}) .

好吧，希望大家看了有所收获，但愿今年导数大题的压轴能通过放缩轻松解决~

祝君好运~


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