Comsol學習：如何模擬光電磁問題中的金屬對象
不管是納米等離基元共振，還是構建光學超表面，我們往往都會用到金屬材料。相對與絕緣的材料，金屬具有導電性，所以可以產生不同的光學現象。利用這些現象可以實現對光或電場波的操控。例如一篇Nature Material（Nature materials, 2011, 10, 911.）的工作，利用等離激元金屬納米結構增強了太陽能到化學能的有效轉換。文章中通過光學模擬顯示了由於光激發的Au顆粒引起的SPR電場增強。
另外一篇發表在Science上的工作（Science, 2013: 1235399.）通過設計金屬陣列超表面克服了傳統電磁波偏振轉換的器件中的一些困難，比如對材料性質有較高要求，或者偏振轉換效率太低等，這種新型的太赫茲超材料可以在較寬頻帶內，實現透射式、反射式的偏振轉換。
以上兩篇文章以及許多類似的研究工作都需要進行模擬模擬來說明科學問題。COMSOL 是當今科研領域常用的數值模擬軟體。在COMSOL中實現以上模擬的關鍵在於如何正確的處理模型中的金屬對象。本文就系統討論如何模擬光學和電磁問題中的金屬對象。
什麼是金屬？
對於什麼是金屬這個問題，我們可以從用於求解電磁波問題的 Maxwell 控制方程組開始。考慮以下頻域形式的 Maxwell 方程組：
上述方程通過 RF 模塊和波動光學模塊的電磁波，頻域介面求解。方程求解了工作頻率ω=2πf 下的電場E。其他輸入項包括以下材料屬性μr是相對磁導率，εr是相對介電常數，σ是電導率。
出於本文的討論目的，我們將假設集膚深度相對較小且有損耗的材料都是金屬。有損耗材料指任何介電常數或磁導率為複數值、或電導率非零的材料。也就是說，有損耗材料會向控制方程引入一個虛數值項。這會在材料內產生電流，集膚深度
集膚深度是電流進入材料內深度的測量指標。
工作頻率非零時，電磁感應都會將有損耗材料中的電流推向邊界處。集膚深度是指電流減小到 63% 時進入材料的距離，可以通過以下公式計算：
其中，μr和εr都可以是複數值。
在極高的頻率（接近光學波段）下，材料接近等離子共振，我們實際上會通過複數值介電常數來表徵金屬。但當在低於這些頻率下對金屬進行模擬時，我們可以假設介電常數為一、磁導率為實數值，電導率非常高。因此上述方程可以簡化為：
在開始利用COMSOL進行模擬前，首先應計算或粗略估算所有模擬材料的集膚深度。集膚深度和零件尺寸信息，這兩點將確定能否使用阻抗邊界條件或過渡邊界條件。
阻抗邊界條件
既然已經知道了集膚深度，我們希望能將該值與模擬對象的特徵尺寸Lc進行對比。它有幾種定義方式。根據具體情況，特徵尺寸可以定義為體積與表面積的比值，或模擬對象最薄部分的厚度。
我們假設一個 Lc＞＞δ 的對象；也就是說，對象遠大於集膚深度。雖然會有電流進入對象內部，但集膚效應會將這些電流推到表面上。因此，從模擬的角度來看，我們可以將電流看作在表面上方流動。此時就可以使用阻抗邊界條件，它會將邊界「背後」的所有材料處理為無限大。從電磁波的角度來看，這一點成立，因為 Lc＞＞δ說明波不會穿透對象。
藉助阻抗邊界條件 (IBC)，我們可以假定電流完全在表面之上，因此不必再模擬模型金屬域內任何部分的 Maxwell 方程組。所以，不必再對這些域的內部進行網格剖分，並能顯著減少計算工作量。此外，IBC 還計算了由有限電導率造成的損耗。對於 IBC 適用情況以及與解析結果的對比，您可以查看
空腔諧振器的 Q 因子和諧振頻率計算
教程案例。隨著特徵尺寸Lc與集膚深度越大時，IBC會越來越精確。對於類似球體的光滑對象，兩者比值大於10時，它仍能保持精確。對於類似楔形的鋒利對象，拐角處會略微不精確，不過正如 下面
Fillet Away Your Electromagnetic Field Singularities
博客中的討論，這屬於局部影響，也是向模擬引入尖角後的一個固有問題。
現在，如果我們要處理類似鋁箔這種一個維度遠小於其他維度的對象呢？此時，一個方向上的集膚深度可能會與厚度相當，因此電磁場將部分穿透材料。此時就不再適合使用 IBC，我們將使用過渡邊界條件。
過渡邊界條件
過渡邊界條件 (TBC) 適用於模擬對象的厚度與特徵尺寸和曲率相比較小的導電材料層。即使厚度是集膚深度的數倍，還是可以使用 TBC。
TBC 會將材料屬性及膜厚度作為輸入項，並通過膜厚度及切向阻抗來計算阻抗。這些可以用於將膜兩側表面的電流關聯起來。也就是說，TBC 會造成所傳輸電場的下降。
從計算的角度來看，為了計算 TBC 兩側的電場，邊界處的自由度數將增加一倍，如下圖所示。此外，還將計算通過膜厚度的總損耗。
增加表面粗糙度
截至目前，TBC 和 IBC 都假定表面是完美的。我們一般認為平面邊界在幾何上是完美的。正如 下面
線性靜態問題的網格剖分注意事項
博客中的介紹，彎曲邊界可以在所用有限元網格的精度內被解析，即幾何的離散誤差。
但所有真實表面都存在一定的粗糙度
粗糙度
，而且可能很大。表面的不完美將影響電流的純切向流動，並會有效降低表面電導率（如上圖所示）。在 COMSOL Multiphysics中，我們可以通過向 IBC 和 TBC 條件增加表面粗糙度特徵來分析該影響。
對於 IBC，輸入是表面高度粗糙度的均方根
均方根 (RMS)。對於 TBC，輸入為膜厚度變化的均方根。粗糙度的幅值應大於集膚深度，並遠小於零件的特徵尺寸。表面的等效電導率會隨粗糙度的升高而降低。
完美電導體邊界條件
我們還應該再分析一種理想化的情況 — 完美電導體 (PEC) 邊界條件。對於無線電和微波領域的許多應用而言，金屬邊界處的損耗要遠小於系統內的其他損耗。例如在微波電路中，電介質基板處的損耗通常遠大於任何金屬噴鍍處的損耗。
PEC 邊界是一種無損耗表面；能夠 100% 反射入射波。該邊界條件可以滿足許多模擬需求，可以用在模型開發的早期階段。有時，查看您的設備在零材料損耗下的表現也會很有意思。
此外，您可以將 PEC 邊界條件作為對稱條件使用，簡化您的模擬。根據對場的預先判斷，您可以使用 PEC 邊界條件以及其補充，完美磁導體 (PMC) 邊界條件，來使電場強制對稱。
根據以上討論我們可以根據面對問題的類型選擇正確的建模方法，從而可以實現高檔次期刊中的理論模擬來提升我們研究工作的質量。
推薦閱讀：
