我發現了一個數學的巧合，請問有證明方法嗎?

隨便說一組數字，比如546731925，有兩種計算方法：
第一種：將這組數字全部相加，最後結果為42，再將4和2相加得6。
第二種：從左往右依次相加，當相加的結果大於10時，逢10便將十位數和個位數相加。比如上式：5+4+6=15，將1和5相加為6，6再與之後數字7相加.....
這兩種計算方法最後的結果都是6，請問這是什麼原理？

我小學二年級的時候，我爸教過我棄九驗演算法當時覺得很神奇，後來我在高中學習到牛頓二項式定理的時候，突然頓悟了其中的奧妙。

八千七百六十五在十進位下表達為

類似地其他十進位整數可以表達為

即

依據二項式定律可以改為

再將九的倍數項目表達為

那麼

這裡假設

因為在大於等於九的情況下仍然可以按照這種分解方法化成形式一樣的等式。那麼類似的另

一個正整數Y可以表達為

那麼如果兩個整數進行加法運算時候

那麼如果這個運算是正確的，那麼對等式兩邊取 9 的模運算為

假如對 Z 的分解可以表達為

那麼

拿一個簡單的加法運算

那麼對 888 進行取模 9 運算

對 777 進行取模 9 運算

再對二者結果取模操作

再對結果 1655 進行取模 9 運算

那麼

所以我算錯了。如果是拿正確的結果1665試試呢

那麼算對了！

可以做個推論，在十進位中是棄九驗算，在九進位中是棄八驗算，在八進位裏是棄七驗算。

你的任何兩種辦法，都是模掉 9 之後不變的演算法，所以你只需要證明得出的結果不可能為 0，你就證明瞭你的那個巧合。

那可不可能為 0 呢？如果不考慮 0 自己那麼肯定不可能。

這個可以用羣論來解釋了，為了方便，我這邊簡單的描述一下，規定e為一個基本單位，規定存在一個法則，這個法則我可以定義為「加法」（與傳統意義上的法則不一樣）規定e+e 得到一個新的元素用「2e」表示，依次內推有2e、3e、4e，且規定9e+e=e 即9e為「零元素」即表示任何元素加上這個元素都等於本身，比如（4e+9e=4e）所以546731925 表示為5e+4e+6e+7e+3e+e+9e+2e+5e，最後元素得到為6e

且，我們可以證明這個羣為封閉的，且這個羣符合「加法的交換律」和「加法的結合律」所以無論你採取怎樣的順序進行相加最後得到的都是6e，也就是6。

哈哈哈，是不是證明很簡單，其實要感謝一位法國天才數學家-伽羅瓦。

鑒於評論區有些疑問，其實這裡為了答案為了能看懂省略了很多嚴格的步驟，畢竟抽象代數對於一般的非數學專業的還是挺難的，這裡的「零元素、加法、單位元」包括省略的「可逆元」大家如果想深究可以自行參考抽象代數的書籍，這裡如果還有證明的疑問就不做多的解釋啦(*￣︶￣)

其實現有的答案都挺好的了，我就說點題外話。

給一個正整數，比如546731925，像題主那樣，不斷各位數加起來，最後算出來的是6，這個數字叫做他的數字根。事實上，正如其他答主指出的，一個正整數的數字根就是他除9的餘數，所以不同演算法給出的是一樣的。

說到數字根，就不能不提下面這款nds遊戲了——極限脫出：9小時9人9門

這是個推理懸疑加密室逃脫的遊戲。正如標題所言，這個遊戲與9有密不可分的關係，而恰好數字根就在其中用上了。本答案無劇透。在遊戲中，9個角色每人有個編號，每次分組進入若干個密室。而每組進入的人的編號合起來的數字根必須與密室的編號一致，因此這就意味著有人可能要被留下，而留下，意味著死……整個緊張的氛圍就起來了。

這個遊戲在所有nds遊戲以及所有密室逃脫遊戲裡面都屬上乘，非常推薦喜歡密室逃脫遊戲的同志們嘗試。

涉及到一種減少位數的運算：把多位數各位相加，或說把每一位都變為數字本身。你拆解一下就會發現這個過程其實是不停地減去9的整數倍（因為是線性運算可以拆解為每一位的運算，）。