題主其實問的是「1+1」和1+1=2的區別。詳見他在回答下的評論。

因為賦予1+1=2的屬性或者說你理解中的1+1=2，是出於模型論的思維。而證明1+1=2所需的是證明論的思維，即通過公理和推演規則得到1+1=2這個式子(定理)，所以證明看起來可能有點冗長。

不過這種東西的證明是完全沒有必要去care，因為設計公理體系的時候，自然會去保證這種直觀命題是可以被證明的。

正好前段時間在哆嗒數學網的微博截了個圖

「證明」1 + 1 = 2 的目的不是為了增加 1 + 1 = 2 的可信度，而是為了證明比 1 + 1 = 2 更原始的大前提的可信度。這種推理方式叫歸納法 （inductive reasoning 有別於數學歸納法），科學理論的可信度來自歸納法。數學的推理方法叫演繹法（deductive reasoning), 但數學公理本身無法靠演繹法證明。

數學裡自明度最高的命題不是公理，而是像 [公式] 這樣的命題。要想證明一套公理的合法性，必須從公理出發，用演繹推理推出自明度非常高的命題，這個過程看似演繹，實則歸納。

Whitehead 和 羅素從邏輯命題出發，推出了[公式]， 由此把數學建立在邏輯基礎上。這個過程對外行來說就是"證明" 1 + 1 = 2，實際上是為非常原始的邏輯公理提供合法性，因為1 + 1 = 2 本身的自明度就非常高。

五彩斑斕，博大精深的歐幾里得幾何只有區區五條公理。遙想當年也有這麼一個看似演繹實則歸納的過程，因為人類最開始的幾何知識是像勾股定理那樣的經驗公式（rules of thumbs），但史料已無從查找。

很多人誤以為公理的合法性不需證明，只需公認，這是當今數學屆流行的一大誤解。詳見：

公理是公認的，不用證明也無法證明的，那麼會隨著數學的發展，人們能證明出以前的公理，使之變為定理嗎？

問題在於，自然數加法的定義有好幾種，而一般情況下自然數加法的定義與我們熟知的自然數加法定義並不完全一致。

就比如，我們認為的加法是，把a個物體跟b個物體放在一起，得到的物體數量為a+b

不嚴謹的證明方法是：根據加法定義，我們把一個蘋果跟一個蘋果放在一起，得到兩個蘋果，所以1+1=2

然後……腦筋急轉彎出現了：

把你爸爸跟你媽媽放在一起……得到了一家人該算1+1=1呢，還是1+1&>=2(大於2的情況是，比如，生了一個孩子)呢？

數學是一門嚴謹的學科……

為了避免杠精，數學家發明了一套完整的邏輯，這套邏輯保證了，每一個【按照邏輯走】的杠精，杠到最後的，都可以稱為偉大的數學家而非見鬼的民間科學家就比如自然數……數學家自然而然地開發出了一套邏輯關係，排除了腦筋急轉彎的可能（是的，我說的是Peano公理）

Peano公理重新定義了自然數，並使用了一種巧妙的方法，確保了自己的定義是唯一的。

在這種情況下，自然數就與我們所理解的「物體」區分開了。

我們不能再用一個蘋果+一個蘋果=兩個蘋果證明1+1=2，也不能用爸爸+媽媽=一家人推翻1+1=2這跟事實

——而如你所見，在這個Peano公理定義的自然數集合下，沒有加法（只有一種確定的運算叫做「後繼」，或者說，「+1」）

加法，乘法都是在這個集合上定義的運算上的（加法定義是，對自然數a,b：a+(b+1)=(a+1)+b，且（a+1=a的後繼/a+0=a）（後面這個條件之所以用斜杠分開的原因是，有些人（比如潘承洞和受他的《初等數論》影響的我）不承認0是自然數，而這兩個條件有一個就夠了）——藉助這兩個定義我們可以完整地定義加法，然後可以藉助加法定義乘法……然後藉助自然數依次定義整數，分數，實數，複數……）

有了加法跟乘法的定義之後，我們還需要驗證，這樣的定義是否有矛盾，又或者這樣的定義是否符合我們的常識

……等這一系列複雜操作都做完了之後，我們才能開始證明1+1=2，證明方法可以用兩次三段論

因為對自然數a，a+1=a的後繼

1是自然數所以1+1=1的後繼

因為1+1=1的後繼

1的後繼是2所以1+1=2

雖然正統數學書上習慣於，直接證明加法乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配率，來證明加法跟乘法的定義都符合常識

但我還是想在這裡演示一下，如何用Peano公理退散杠精：

爸爸+媽媽=一家人這個等式之所以不成立的原因是，在我們認定1+1不等於2的情況下，爸爸和媽媽不能抽象成自然數

偽命題。誰跟你說需要證了

不好意思你的認為是錯的。

+和1的定義沒有賦予1+1=2的屬性，只賦予了1+0=1的屬性。

而且1的定義是0的後繼元，2的定義是1的後繼元，1+0=1是加法定義中的一條。

證明1+1=2，實際上意思是，證明：0的後繼+0的後繼=0的後繼的後繼

既然定義中沒說1+1=2，那就需要證明了。

大家要分清1+1和1+1=2！前者是哥德巴赫猜想，後者才是我說的這個！

數學專業的回答這個比較好。

我就隨便一說，

1直覺不靠譜。

2數學有基礎主義的傳統。

公理化方法是追求基礎主義的一種體現。

1+1=2作為公理並不是不可以，這涉及公理系統的要求，一般要求公理一致、完全、獨立。

對於自然數加法，皮亞諾公理相對來說比較漂亮，用其他公理系統也行。

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白寫了一大段。。。

陳景潤證明的是哥德巴赫猜想的1+2，不是自然數加法。

其他答主們都不看問題簡介的嘛…哥德巴赫猜想里1+2是素數＋偽素數可以表示出任意＞2的偶數

你到底要問1+1=2，還是哥德巴赫猜想？前者可以去看皮亞諾公理體系

沒記錯的話，陳景潤先生沒有去證明「1+1=2」，他證明的是哥德巴赫猜想。

暈，哥德巴赫猜想的1+1=2和加法的1+1=2是兩回事吧。

因為1+1等2是皮亞諾公理

恭喜，Agda 也是這麼想的。

// 這就是「等於」
data _==_ {A : Set} (x : A) : A -&> Set where
refl : x == x

// 這就是「自然數」
data N : Set where
zero : Nat
suc : Nat -&> Nat

// 這就是「1」
one : Nat
one = suc zero

// 這就是「2」
two : Nat
two = suc (suc zero)

// 這就是「1+1=2」
theorem1+1=2 : one + one == two
theorem1+1=2 = refl

所謂的「1+1=2」是哥德巴赫猜想的簡稱，表示每個不小於6的偶數都是兩個奇素數之和。

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