假設倒出大米的速率恆定且連續不間斷，重力加速度為g

（好像往地上放一根繩子，求對地最大壓力也是類似的情況，可以幫忙一起解釋一下嗎）

這不經典問題了嗎，倒出米的速度恆定的時候，實際就是不多不少，盤子的額外受力 = 單位時間落到盤子上的米的衝量 = 單位時間內落下米的質量 * 落到盤子時的速度 = 單位時間內落下米的質量 * 下落耗時 * 重力加速度g = 停止前任意時刻空中的米的質量 * 重力加速度g = 停止前任意時刻空中米的重量，所以等空中的米全都落下來正好就是5kg。

放一根連續不斷的繩子也是完全一樣的，只不過物理圖景略微有一點不同，對於放繩子的問題來說，繩子速度穩定時繩子受重力 = 繩子上端受張力 = 繩子底端單位時間對地面衝量，繩子上每點都有張力，任意兩點之間的張力差 = 兩點之間繩子的重力，但整個表達式最後跟前面是一樣的。

我們來增加一點難度，假如落到的這個秤盤特別有彈性，導致米落在秤盤上彈得跳起來了，不過不會跳出秤盤，那最後停下來的時候米是多了還是少了？

考慮一粒米落下，它落到秤盤上彈起來了，造成的衝量會比剛才討論的更多——但是別忘了，因為彈起來了，它也沒算到秤盤的示數以內。接下來會再次落下再衝擊一次，直到最後耗盡能量為止。這時候該怎麼討論呢？

考慮一粒米從下落到最終穩定到秤盤裡，它的初始動量是0，結束的動量也是0。根據動量定理，動量差等於在這個過程中受到的衝量之和，衝量可以分為兩部分，一部分是重力帶來的，它是整個下落時間 * 米粒重量；另一部分是對秤盤造成衝量的反作用，和對秤盤造成的總衝量相等。因此在整個過程中，每一粒米單位時間內造成的平均衝量 = 米粒的重量。因此只要米粒夠多，整體上還是滿足平均衝量 = 空中米粒的重量（包含彈起來的）。這個動量定理就是這一類下落問題的本質，米粒也好繩子也好都是一樣的，對於繩子來說，繩子張力是內力，造成的衝量在各個繩子微元之間相互抵消（最後一個微元可以忽略不計），所以最終也有單位時間平均衝量 = 重量。

如果考慮空氣阻力的話，方法也是一樣的，只是將空氣阻力也算進去，得到 單位時間平均衝量 = 米粒重量 - 平均空氣阻力，所以有空氣阻力的時候空中的米下落之後，會比之前的示數多一點點。

1. 繩子

首先簡化問題: 設繩總長為 [公式], 線密度為 [公式]. 下落過程中, 未落地的部分保持豎直, 且與已落地的部分無相互作用. 繩落地後保持靜止並忽略體積. 忽略空氣阻力. 為簡潔, 當繩末端恰離地時由靜止釋放(離地一定高度或具有一定初速度不影響問題本質).

  • 可以用動量定理:

取向下為正, 設 [公式] 時刻繩子下落高度為 [公式] , 未落地部分繩段的速度為 [公式], 由於未落地部分繩作自由落體運動, [公式]. 可得未落地部分繩質量 [公式]

整段繩子的動量全部由未落地的部分提供. [公式] 時刻繩動量為 [公式].

經 [公式] 時間, 未落地部分繩質量為 [公式], 速度 [公式], 則動量 [公式].

由動量定理: [公式] 解得 [公式] 或寫為 [公式] 即支持力是已落地部分繩所受重力的三倍.

  • 也可使用質心運動定理(本質上與動量定理相同):

以落地點為原點, 向上為正方向建立坐標軸, 則繩上端位置 [公式] 整段繩質心高度為 [公式] 速度 [公式] 加速度 [公式]

由質心運動定理, [公式] 得 [公式]

(對這個結果, 我最初算出來也覺得奇怪, 去查了一下, 發現是有實驗驗證的, 見

百度文庫 - 讓每個人平等地提升自我?

wenku.baidu.com

論文的第三部分. 雖然論文裏只是驗證了最後瞬間的壓力等於重力的三倍, 並且用的是鐵鏈而非柔繩, 但我認為已經足夠驗證上述計算了. )

2. 大米

採用與前述類似的簡化模型: 米粒作無初速度自由落體; 忽略空氣阻力, 米粒間的碰撞及落地後的體積. 不妨藉助漏斗來倒大米, 定義流量為單位時間內流出漏鬥口的大米質量, 即 [公式] 假設流量恆定, 漏鬥口距地面高度為 [公式]

米粒與繩子有兩點不同. 第一, 未落地部分的繩子共速(繩元速度關聯), 而米粒速度僅由各自下落時間決定. 第二, 繩子分為兩部分, 未落地段與已落地段; 而大米分為三部分: 漏斗中部分, 空中部分, 已落地部分. 因此兩個問題並不相同.

容易想到, 大米的傾倒過程分為三個階段, 從而"米流"的形態依次會出現三種形式: 一, 僅有漏斗中部分和空中部分; 二, 包含漏斗中部分, 空中部分和已下落部分; 三, 僅有空中部分和已下落部分.

在階段一, 無米粒落地, 支持力為零, 這一階段經歷時間為 [公式]

階段三是大米傾倒完畢或人為停止傾倒(即題主描述情形)的結果, 不必考慮支持力.

階段二的運動圖像類似於流體的穩恆流動, 各米粒的運動完全相同, 只是出發時間不同, 即: 在同一高度, 各米粒具有相同的速度.

從進入階段二時, 即"米流"恰觸及地面時開始計時. 在 [公式] 時間內, 有質量為 [公式] 的大米流出, 則應有同樣質量的大米落地, 對這部分大米應用動量定理有: [公式] 其中 [公式] 為地面對這部分大米的平均作用力, 解得 [公式]

又 [公式] 時刻已落地部分大米的質量為 [公式] 受到地面支持為 [公式] 故總支持力為 [公式] 在 [公式] 時刻達到 [公式] 後停止傾倒大米, 漏斗一共倒出大米 [公式] 即題主描述情形中所得大米恰為 [公式]

3. 實際情形

以上討論均採用理想化模型, 下面簡單定性分析實際情形中上述模型對結果的影響.

  • 繩子

已落地部分對未落地部分會有力的作用, 繩子難以保持豎直, 若考慮繩傾斜後由於需要提供向心力, 支持力將減小.

  • 大米

在落地部分達到一定質量時, 其體積不可忽略, 米粒下落高度將減小, 即落地速度減小, 而流量恆定, 單位時間內落地質量不變, 由動量定理知支持力(秤的示數)減小. 故最終得到的大米將略增加.

當然這也並不符合實際. 實際操作更可能是: 在示數接近預期時降低高度並減小流量, 從而減少不必要的麻煩.

關於模型中的假設"落地後即靜止", 對於繩子, 該假設較接近實際; 對於大米則不夠準確, 詳見第5點.

4. 關於大幅提高高度的問題

評論及其他回答裏有提到。有點取巧的意味，不過也可以分析一下。

有兩點：

一、提高高度改變的其實是階段一經歷的時間。若在這段時間裡落下的米超過了5kg，後續討論便無意義了。就當開開腦洞吧。

當然我們可以設置得不太高也不太低，使得階段一的米的質量及相應衝擊力都不足5kg。規律與前述無異，只是需要一番暴算。這個問題可以請教小學數學課本里的游泳池管理員。

二、其實不必設置非常高的高度。隨著高度增加空氣阻力不可忽略，自由落體模型將不適用，但仍可採用穩恆流動模型。此種情形下諸米粒將以收尾速度勻速下落，即阻力與重力平衡，撞擊帶來的壓力增量達到最大。所以只需不低於達到收尾速度的高度即可。

有空再算吧。

5. 關於彈跳

在其他回答裏看到了關於彈跳的討論。

起初覺得彈跳可以忽略，中午用自家的大米做了實驗（家裡沒有秤，用的盤子），發現彈跳非常明顯。不過我沒有驗證這種彈跳的作用究竟有多少（米粒鋪滿一層後彈跳現象就幾乎消失了）。

彈跳起的米粒也可能與其他米粒相撞，若認為此碰撞是完全相同米粒的對心彈性碰撞，則碰撞後速度交換，不影響其他分析。

定量計算可見：

白如冰：張大伯買米後續的故事?

zhuanlan.zhihu.com圖標

和

王贇 Maigo：10241 張大伯買米的暫態分析?

zhuanlan.zhihu.com圖標

（這兩篇文章二次轉載自另一個回答，感謝這位匿名答主。）

第一篇文章裏計算的力是假定彈跳發生無數次，與實際有所偏離（應當是個小量，只是近似到多少階的問題，也可認為單個米粒的無數次碰撞與大量米粒的單次碰撞等效，且建立這種等效的馳豫時間很短）。文章結論是所得質量依然不變。這個其實可以理解，相當於有很多漏斗從不同高度處傾倒。

第二篇文章認為受力呈階梯式彈跳，這應當是「米流」足夠微弱的情形。碰撞頻率較高時壓力為這些碰撞的平均效果，類似於氣體動理壓強。

（註：英文標點部分為原回答，中文標點部分為後續補充）

啊，這不是我們大一時候力學的一道作業題嘛， 要算秤的示數什麼的，好懷唸啊。

算的時候要注意下方的米比上方的米「密度小」或者說「稀疏」，不能把米當時一個密度均勻的柱體，這樣就不會出錯了。我當時第一遍好像還想錯了2333

一個更直接的方法是從米流出的地方來算米的流量，不管下面怎麼流的，這樣也不容易錯。

這好像是高中的物理題

嗯，現在不會做了

（高中時的改錯本）

農民張大伯去買一斤小米

米店老闆掏出一個秤，放在地上，隨手拿起一把刀割破了一個米袋，米就嘩嘩嘩的掉到秤上

等到秤的示數為一斤時的瞬間，老闆堵住了米袋子的口子，把秤上的小米給了張大伯

張大伯心滿意足的走在回家的路上，心中感慨老闆真是個豪爽的人

突然，他覺得不太對勁：

按照F=ma，小米在落在秤盤上時應該會產生一個力......所以他買到的米其實不足一斤

第二天，張大伯將老闆告上了官府。

張大伯把自己的想法說出來了

老闆則表示這樣做每次都沒出過差錯

縣太爺聽了，微微一笑：「這是誤會，老闆沒有坑你」

說完，縣太爺猛地取一根毛筆，蘸墨寫到：

設秤距離拋出點的豎直高度為h

記小米的流速為lambda

=m_{0} kg/s

則在秤恰好顯示1斤時，取此後一極短時間Delta

t

此時間內，與秤盤發生碰撞的小米質量設為m

則m=lambda ·ullet Delta

t

由動量定理，得

FDelta t=mv

其中v=sqrt{2gh}

聯立得F=lambda sqrt{2gh}

也就是說此時秤的示數N=F+m_{1}g

（m1為已經落在盤上小米的質量）

張大伯一聽，憤怒的說：你看，我這不是損失了相當於frac{F}{g}=lambda

sqrt{frac{2h}{g} }

這麼多的小米嗎！

縣太爺笑道：別忘了，現在空中還有小米呢

老闆一聽，感到有些疑惑：啊？這麼說難道是我虧了嗎？

縣太爺接著寫到：

記張大伯所說的lambda

sqrt{frac{2h}{g} } =m_{2}

而此時在空中的小米質量為m_{3}

則m_{3}=lambda t

其中t=sqrt{frac{2h}{g} } ，代入發現m_{2}

=m_{3}

這也就是說，你們倆一點都沒有虧

張大伯和米店老闆聽了，相視一笑，從此過上了快樂的生活

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