lim(n→∞) sin(nπ) 為什麼是 0，而不是不存在？
前提。你忽略了前提。
當n趨近於無窮時，sinn極限不存在。
你認為這個結論正確的前提只有一個：當n趨近於無窮。
因此，當你發現nπ也趨近於無窮，也滿足此前提，於是直接套用上述結論，得出sinnπ的極限不存在的結論。
你錯了。不僅結論錯了，而且前提也錯了。
事實上，該結論有兩個前提。
另一個前提是：n以1，2，3，……趨近於無窮。
nπ顯然不滿足此條件，所以不能直接套用這個結論。
正確的思考方法是：
從n=1開始，逐個代入上式，構成數列。
然後，發現該數列為常數數列，常數為0。
所以，該數列的極限為0。
即上式極限為0。
或許你會認為，這道題做錯只不過是你一時大意，粗心了，下次一定不會錯。
如果你是這樣想的，那麼你又錯了。
你錯的不是這道題，而是思考問題的方式。
你有沒有想過，你為什麼沒有找出該結論的所有前提？
答案是：你根本沒有意識到『你需要找全某結論的前提條件，才能應用此結論』
解決方法是：每學一個新的結論，都思考『應用該結論的所有前提條件是什麼？我是否有所遺漏？』
直至對所有結論的前提條件都瞭然於胸。
這樣，方可不再犯錯。
『沒有判斷前提是否完整的意識』纔是你根本的思考錯誤。
你需要反思的，不僅是這道題，還有你的思考方式。
切記，切記！
若 ,則
,
.
若 ,則
,極限不存在.
類似地,若 ,則當
時
,且
.
首先，你注意到了 是不收斂的。
Heine定理表達了一個強大的等價關係。它一般可以寫成：
函數 在
處是不收斂的，所以我們只能尋求其逆否命題，即
特別要注意的是，任意變成了存在。因此， 的發散只能得到
在
處的發散，但
在
處的發散得不到一切子列的發散。
事實上，任何有界無窮集合都存在聚點，任何有界數列都存在收斂子列。即使 在
處不是收斂的，也一定存在一個數列
使得
收斂。
不但常數列 顯然收斂，
也收斂，極限是
，
也會收斂，極限是
。
習題：
考慮到：
所以：
自然可知：
1.對於以 作為自變數的情況，在極限裡面一般默認的都是數列極限，而且趨近的無窮當然也是指正無窮。所以對於極限
不特殊說明的情況下都認為是數列極限。當然對於一些要求比較嚴格，嚴肅的考試場合題幹裏一般都會提一句「求數列極限...」。而對於平時的上課，討論，只要是數列極限，一般都不需要做特殊說明。
2.這種約定俗成的就像 一樣，不做特殊說明，都認為它代表圓周率是3.14159........，除非它不代表圓周率才需要專門說明一下。
3.如果是計算函數極限，一般不會用字母表裡面的 這幾個符號，因為這幾個符號常用作下角標。（計算機有一個I-N規則，就是說以這幾個字母代表的變數一般都是整數型變數。）
4.對於任何的整數 ,都有
,所以這裡是所有項都是0 的數列，因此極限就是0.
題主能否說一下，為什麼會認為這個極限不存在？
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