是不是當今的數學都是建立在定義：1+1=2 之上的？

如題，我們現在的數學發展，是不是都依據將1+1定義為=2發展而來？如果我們重新定義1+1，數學會發生什麼改變嗎？就像解決「0攝氏度低兩倍的溫度是多少？」這個問題可以將攝氏度轉化為華氏度來解決一樣，當我們遇到原本的定義無法解決或難以解決的問題時，我們可不可以像這樣轉化之後來解決？

首先你對於溫度的描述是完全錯誤的——因為攝氏度和華氏度的「0」都不是溫度的「0」，它們都只是在絕對溫度的右邊取了一個零點，方便大家生活。也就是說，這兩個系統在溫度-能量圖上都是一條不過(0,0)的直線——而不過(0,0)的線性關係是不能以正比例的關係（幾倍）來論述的。如果說按照華氏度可以算出「比攝氏0度低2倍的溫度」，那麼用絕對溫度來算就是-273.15K，也就是-546.3攝氏度——一個表達怎麼會有兩個結果呢？

數學的基礎是一系列公理體系，在這些公理之上建立起來各種各樣的理論與學說。由公理可以推導得出一系列的定理和推論，這些理論被稱為是在該公理體系下自洽的。

所以只要更改體系依賴的公理，就可以做到更改整個體系——最典型的例子莫過於歐幾裏得幾何、黎曼幾何與羅巴切夫斯基幾何，根據對平行線的規定不同，衍生出了一系列不同的理論。

理論上來說，公理的選擇是任意的——只要它們之間不相互矛盾即可。但是基礎公理的選擇的一大標準是符合常識，因為數學的研究需要有實際意義。通過更改基礎的公理，來研究一個違背常識的數學系統完全可行，但是如果為此的大費周章（因為幾乎所有對應理論都要更改）沒能有效解決關鍵問題，那麼有什麼意義呢？

回到題目，說到1+1=2，所依賴的體系是佩亞諾公理（亦稱佩亞諾公設），絕大多數的數學理論都以此作為基礎——佩亞諾公理定義了自然數系統，而自然數正是人類對於數學最初的認識，因此它是易於理解和接受的。這個公理只是數學大廈根基的一部分，許多美妙的定理正是在這一系列公理基礎上建立起來的。

如果你希望建立自己的一套公理體系，建設自己的數學大廈——也不是不可以，但我勸你不要這麼做。因為佩亞諾公理遠不是數學理論的最基礎，下面還有集合論、邏輯學關係等等等等，更改這些除了會把自己繞暈之外沒什麼作用——或許可以鍛煉一下邏輯能力吧。

集合論比這玩意重要多了

不是，1+1=2 並不底層也不基礎。

數學是建立在一系列公理之上的，而你說的 1+1 基於皮亞諾公理。

至於你問到的重新定義 1+1 這事兒，當然是可以的，因為數學家們早就幹過無數次了。在不同的公理體系下，看起來相同的表達確實就可以代表不同的內涵。

至於溫度的例子嘛，攝氏度和華氏度也只是一種定義，而不是本質，你大可以用類似的辦法重新定義無數個不同的「0 度和 100 度」，比如用你可以把二氧化碳的熔點定義為 0 度——只要你覺得方便就行。

我說一點數學常識。知道二進位嗎？

1+1=0，而且{0,1}既有幺元又有零元還對運算封閉，它是一個域。

為啥總有人覺得不承認1+1=2就是了不得，天大的事，這沒啥特別的，研究的很透徹了。

首先最重要的是0和1，2不太重要，是通過0和1演變而來。

對於羣來說，0是必備的；對於域或者環來說，1也是必備的。他們共同構築了整個羣/環/域。

我們所研究的大部分數系統，主要包括自然數、整數、有理數、實數、複數。我們對自然量的理解集中在對這幾個環/域的映射上。

回到你說的溫度。攝氏和華氏的0和1，不是我們之前講的0和1，他們確實是人為定義的。和我們講的0和1對應的是，開爾文對應正實數集。這裡0是絕對零度-273.13......，1就是開爾文的1。

這裡著重強調一下，0的重要性是任何數+0=任何數，1的重要性是任何數*1=任何數。溫度的相加相乘在我們日常理解中沒有任何意義，所以我們也不用管什麼攝氏度的0和1，或者說這部分連數字都不是就是個表達，和數學不太沾邊；但當你把溫度和熵對應起來後，許多運算就有意義了。

簡單介紹一下如何在集合論的基礎上定義自然數。當然也可以直接用公理定義自然數，比如Peano公理，但是如果建立在集合論之上就只需要集合論的公理就足夠了。關於本回答的詳細內容可參考布爾巴基數學原理第一冊集合論，裡面詳細介紹瞭如何搭建嚴格的集合論基礎。集合論框架下的一切數學對象都是集合，從下文中可以看出自然數本身也是集合。

首先要有集合的勢的定義。如果兩個集合之間存在一個一一映射（bijection），那麼就稱兩個集合是等勢的。給定一個集合，我們可以從所有與等勢的集合中選出一個作為代表，稱為的勢，記為。當然這裡說選出一個代表是不嚴格的，嚴格的定義方式可參考上述書籍，這裡只是形象的解釋一下。所以集合的勢本身也是一個集合。