如何用初等的方法，嚴格證明圓面積公式？
簡單來說就是小學生也能理解的，極限也算初等。現在學生學習數學似乎從來沒能理解數學的嚴謹，圓面積公式就是用似是而非的方法給解釋一下，然後學生從小就是糊裡糊塗地把數學給學了，但是圓面積公式又極為重要，故有此一問，請各位大神解惑
不可能。初等方法連面積（Jordan measure）都定義不出來搞什麼公式哦……
-如何用初等的方法，嚴格證明圓面積公式？
思路是，把一圓分成n個扇形，然後插成一個近似於長方形的東西
我小學時王老師就是這樣教的，但當時還是有疑惑，為啥那個花邊就能當成直線呢？
用微積分、三角函數也能證，但有兩個問題，一是不直觀不適合理解，二是三角函數本來就是圓定義的有循環論證的嫌疑，微積分的基礎也很少有人觸及只是把結論拿來用。。。總之那樣證我覺得不夠根本，如同題主所說，不是初等方法
所以這裡嘗試說得更基礎更直觀一些，盡量解除疑惑（不指望能看完，只是告訴你這件事是可以說清楚的）：
1. 這個長方形的寬是r，長是圓的半周長 所以面積是
長方形面積公式，這個實是面積的定義
2. 的定義是圓周長和半徑r之比
這是個定義不需要證明
3. 當切的份數很多時，插成的形狀的面積趨近於那個長方形的面積
這裡趨近的意思是，給定任意一個正數 ，存在一個正整數N使得對所有切的份數n&>N，都有：面積的差值小於
實是極限的定義，小學雖然碰到了但大概不會說出來以防止零亂
為此，要考慮兩個正n邊形，一個是那個圓的內接正多邊形，另一個是外切正多邊形，把這兩個正多邊形分別像剛開始那樣插成兩個長方形
4. 一開始那個近似長方形的東西的面積介於這兩個長方形之間
這個符合直覺吧？還用展開證明嗎？這用了歐幾（Euclidean Geometry）的第十條公理。https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry#Axioms
5. 這兩個長方形的面積當n很大時趨近於同一個值
4和5合起來就是所謂的`夾逼原理`，就是用兩條直線去夾那一個花邊，需要證明的是
6. 當n足夠大時，直線所夾的那個區域的面積趨於0
比如 是那n個扇形之一
是內接正n邊形的一個角，
是外切正n邊形的一個角，那個大一點的長方形和小一點的長方形的面積的差值~
，那
是趨於
的，一個有限的值
而CP的長度是 這個涉及三角函數，但是我們只是用它來表示一下，想說明的是
7. 當n很大時，CP的長度趨於0
這個符合直觀吧？要想嚴格證明的話涉及到一些定義和歐氏幾何的公理，我覺得在這裡應該沒這個必要全寫出來了
然後因為分的份數很多時 是有限的，CP卻趨於0，所以
的面積趨於0，就夾出了圓的面積是
到了這裡大概能看出，看起來簡單的事情深入到一定程度也是不容易理解的。想要嚴格就比較囉嗦而且並不容易，最後還是會歸結到幾個公理和定義上，這些公理有時候挺抽象，小學生不一定能理解。那也已經不是初等數學了。
許多小學老師大概能解釋到第二層（從右往左看），中學大概能到第三四層（但可能已經忘了這是個問題了），我一物理電子博士大概也就能再多挖這幾層。。
這個證明也算不上完全嚴格，還是有一件挺麻煩的事情沒有提。
許多人要的大概是解除疑惑的感覺以及符合直覺，而不是真的挖到底吧
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初等方法連曲線都定義不了，沒法嚴格證明。
不可能。
涉及到曲線及其圍成的面積，初等方法和嚴格性就是一對兒矛盾的東西。我猜題主可能對現代數學的嚴格性有一點誤解，你要知道，真要從嚴格意義上來說，初等方法連曲線長度和麪積都定義不了，更別說嚴格證明圓的面積公式了。
其實做觀察，做發現，做猜想，做計算，比一開始就強調嚴格證明要重要得多。一開始學數學就過分要求嚴格，這既沒必要也做不到。
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