構造微分流形這個概念的動機是什麼？
學到微分流形時，感覺這個東西的定義很複雜，涉及到拓撲結構和微分結構，那麼數學家為什麼要構造這麼複雜的概念呢？
第一個構造這個定義的數學家是誰？他為什麼要弄出這個定義呢？出於什麼目的？
根據維基百科的說法：
Hermann Weyl gave an intrinsic definition for differentiable manifolds in his lecture course on Riemann surfaces in 1911–1912, opening the road to the general concept of a topological spacethat followed shortly. During the 1930s Hassler Whitney and others clarified the foundational aspects of the subject, and thus intuitions dating back to the latter half of the 19th century became precise, and developed through differential geometry and Lie group theory.
你現在看到的「局部歐氏第二可數的Hausdorff空間」這種公理化定義是20世紀纔出現的。但是具體的流形的例子在之前就已經出現了。比如19世紀黎曼就提出了黎曼曲面的概念。Abel和Jabobi對橢圓積分的研究導致他們開始考慮某些特殊的複流形。19世紀分析力學的發展導致力學家們逐漸產生 辛流形 的概念。還有李羣理論的發展。等等等等。具體可以看看這個維基頁面：
https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_manifolds_and_varieties?en.wikipedia.orgThe term "manifold" comes from German Mannigfaltigkeit, by Riemann.
In English, "manifold" refers to spaces with a differentiable or topological structure, while "variety" refers to spaces with an algebraic structure, as in algebraic varieties.
In Romance languages, manifold is translated as "variety" – such spaces with a differentiable structure are literally translated as "analytic varieties", while spaces with an algebraic structure are called "algebraic varieties". Thus for example, the French word "variété topologique" means topological manifold. In the same vein, the Japanese word "多様體" (tayōtai) also encompasses both manifold and variety. ("多様" (tayō) means various.)
我們現在課本上的講授順序，是先講抽象定義，再講具體例子。比如課本上先給你定義什麼是流形，什麼是羣，然後告訴你 一個有相容的羣結構的光滑流形叫李羣。然而歷史上的發展順序往往是反過來的。具體的矩陣羣李羣的例子出現在流形的公理化定義之前；19世紀沒有代數簇的嚴格定義，但是已經有義大利代數幾何學家研究代數曲面了。是一大堆的例子驅使出數學家抽象出概念的共性，從而提出總括性的一般定義。而不是數學家先高屋建瓴提出一個抽象定義，然後再憑空造出一大堆例子。正如數學發展的初期，先出現的是平面幾何，是初等數論，而不是ZFC集合論。
我不敢說提出流形這個概念的歷史動機是什麼，就說說自己的理解吧。
比方說，古代的時候，很多人並不知道地球的形狀是什麼樣的。從人們對局部空間的幾何感知出發，人們無法推測出地球的整體幾何特徵，到底是球形，梨形或是麵包圈形的。但另一方面，人們很早就學會了畫地圖，知道可以用平直的二維空間來表示局部的地形特徵。
現在我們知道，地球表面不是平直的，嚴格說來也不是規則的球面，甚至我們身處的三維空間，也不見得是規則，均勻，平直的，但這並不妨礙人們運用樸素的理性建立起平直均勻的二維，三維歐氏空間，用以描寫自己所處的局部環境。
流形，就可以看做這一經驗的推廣和抽象提煉。流形其實就是說，一個n維的幾何體，我們不知道它整體的幾何性質如何（比如地球），但我們對它的每一個局部，都能用n維歐氏空間來描寫（比如n=2時，用地圖描寫地表局部）。
用術語來說，這個「局部」，就是拓撲空間中的開集，用n維歐氏空間描寫，就是說能夠建立開集到n維歐氏空間的「微分同胚」。粗略地說，微分同胚就是一種保持拓撲結構（可以理解成空間中點與點的鄰接關係）與微分結構的一一映射。你可以認為，流形的每個局部，從拓撲和微分結構的角度看，都「等價」於n維歐氏空間的一個局部，進而，也就能夠賦予其一個局部的坐標系。
這就是流形概念的第一層意思，也是最直觀，最精髓的一點：流形的局部等價於歐氏空間，我們可以在其上建立局部坐標系，建立方向（切叢），直線（測地線）這些概念（地球表面並不平坦，但並不影響我們建立了直線和方位的概念）。
在流形概念建立之前，我們一般來說是把n維幾何體嵌入到n+1維歐氏空間中去研究的。也就是說，幾何體上的每一個點，都被賦予了一個「絕對坐標」。
有了流形的概念之後，我們就不一定要將幾何體嵌入到高維歐氏空間了。我們在每個局部，都可以賦予一個相對坐標，這就是流形的研究方式。
仔細說起來，n維幾何體還不一定能嵌入到n+1維歐氏空間中。微分拓撲學的結論表明，n維幾何體可能要嵌入到最多2n+1維歐氏空間中。比如，撓率不為零的曲線就只能嵌入到3維歐氏空間中。經典曲面論研究的往往是嵌入到3維空間中的可以可視化的曲面，但是2維曲面Klein瓶就至少要嵌入到4維歐氏空間中。這意味著，同樣是n維幾何體，由於嵌入的歐氏空間的維度不同，其表示形式就不相同。反過來，用流形的觀點，倒突出了幾何體內稟的維度。
當然，我們知道，作為近似球面的地球表面，是無法在毫無變形，毫無失真的情況下，用一張張平面地圖拼接起來表示的。此外，繪製地圖，也有著不同的比例尺和各種各樣的投影方法，會造成不同種類，程度的扭曲，失真。但只要它們滿足一定條件，我們就認定它們繪製的是同一地圖，或者它們能夠以某種方式拼接起來，表示某個幾何整體。
在數學上，我們說流形上各個局部到n維歐氏空間的微分同胚之間，要滿足一個特定的相容性條件。同一個點，可以屬於不同的開集，賦予不同的坐標表示；同一個開集，也可以賦予不同的坐標表示，只要這些表示是「相容」的。這就好比，地圖有各種畫法，只要滿足一定的相容性條件，我們就認定這些地圖是對同一幾何體進行描繪，且這些局部的地圖總能以某種方式拼成整體的樣子。
這就是流形概念的第二層意思：流形的局部微分同胚於n維歐氏空間，這些微分同胚之間彼此是相容的。
一般來說，運用第一層意思，我們已經能夠做很多事情了。只要有了局部同胚，局部坐標表示，我們大致上就可以開發出粗糙版本的切叢，聯絡，測地線，曲率等概念了。但是，為了嚴謹起見，我們需要論證，我們提出的這些概念，在更換另一個局部坐標之後，不會發生變化，也就是說，我們的概念是幾何體內稟的，而不是和坐標系的選取相關的。這時，我們就往往需要援引相容性條件，也就是剛剛說到的流形概念的第二層意思了。
最後，由於局部坐標系的存在，我們很容易在局部定義一個張量場，比如黎曼度量，但怎麼將局部的張量場延拓，或者拼接成整體性的張量場呢？這裡，常常要用到微分拓撲的基礎知識，「單位分解定理」。由於「單位分解定理」需要拓撲空間滿足第二可數公理才成立，所以我們要求流形的拓撲空間滿足第二可數公理，這是流形概念的第三層意思。
綜上，流形最核心的，最直觀的要點是，它在每個局部可以同胚於歐氏空間，可以建立局部坐標。但為了概念打磨的目的，還需引入相容性條件和第二可數公理。第一條說的，是流形的局部性質，是流形概念的直覺所在，後兩條說的，是局部與局部的關係，局部與整體的關係。照我理解，主要是要排除掉那些「病態」的情況（比如幾何量或公式在不同的局部標架下表示不一致，或者局部場無法拼接延拓為整體量，等等）。
從某種角度看，局部的歐氏特性和整體的非歐特性，被統一在流形這個結構中，就好像地球，我們從局部認識它那就是歐氏幾何，從整體認識它那就是非歐的黎曼幾何，也或許流形的提出反映了人們從歐氏幾何到反直覺的非歐幾何再到更加一般的幾何學這樣一種認知的探索吧。
個人建議是，如果沒有數學系的看懂定理證明的需求，其實可以滿足於知道流形就是每個局部等價於歐氏空間的幾何體就足夠了。
我想Hirsch 在 Differential Topology 一書的引言中回答了這個問題。貼一個拙譯https://m.douban.com/book/review/10562763/
只是就宇航學長回答裏的評論說幾句。
很多人說學數學要了解動機 教數學也要講動機 這點沒錯
但是動機不同於歷史 歷史上最初的動機和現在我們學習的形式可能相去甚遠
並且歷史的發展順序從來不是線性的 大家常見的那些數學史書裏的故事都是經過後人整理過的 就是說
為了讓它看起來有條理而故意寫成線性順序
這點看看迪厄多內的泛函分析史前言就說得很明白了。
數學歷史學得好未必數學就能做得好
至少我所知道的大數學家鮮有數學史家
Weil他們精通數學史 但人家是直接去讀Gauss他們的原著 而不是去看什麼數學史書
有人說從數學史中找動機 像代數幾何你去看黎曼的論文或者20世紀初義大利學派的代數幾何真的對你學習Grothendieck的概形理論有很大幫助？
我同學之前開討論班 裡面引用了一篇格之前的代數幾何文章 她看得十分頭大拜託我把它翻譯為現在的常用術語
所以就我的感覺 學數學史其實並不能對你數學的學習有多大幫助（不信的可以去嘗試一下給未學過線性代數的人講線性代數史
看看是否真像許多學過的人想的那樣會使學習線代變得容易
在你連這門學科的基礎概念都不知道情況下給你講歷史你真的能聽懂？）
大部分人只是喜歡聽數學故事 覺得這樣講可以增加趣味性
說個我自己的看法吧，我們學習幾何，首先要了解的就是一個geometric object的幾何性質，比如dimension，smoothness，symmetry等。如果說沒有manifold這個定義，那就很難把這些幾何性質用嚴謹的數學語言描述出來；做一些比較容易的example的時候可能還看不出來，做一些highly non-trivial的example的時候光憑幾何的直覺往往是不太夠的，所以需要抽象化的語言去描繪幾何。
我個人認為manifold這個定義最好的一點是它能給到一個非常intrinsic的dimension的定義，簡單來說就是有了manifold的這個定義，我們學習dimension就可以不考慮particular embedding，就不會有那麼多侷限性了。
換個角度，這個事情取決於人們認識論的改變。古人總喜歡有一個對世界的整體的想像，也喜歡整體性的定義一些概念。但這真的對麼？人們認識到人的認識能力是有限的，地球是圓的就證明瞭這一點。所以微粉流形的定義你可以看出是一個局部概念，這也是最實事求是的定義方法。
沒東西研究，所以推廣一個概念，憋文章喫飯。
微分流形說白了就是向一次性概括所有高維圖形的性質。解析幾何裏學的都是有具體解析式地位比如二次曲面，但實際上大多數圖形都沒有解析式。有限多的符號組合無法一一對應不可數多的圖形。所以只能用一種奇怪的局部光滑的定義，加上緊性和映射度至少足夠展開後面的結論。
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