為什麼 1 不能被認為是質數？
為什麼 1 不能被認為是質數？這只是國內的規定嗎？還是說全世界的公認的？
在一個（交換）環中，所有的有乘法逆元的元素稱為單位，在整數環當中，1是單位.
我們通常說的質數應當在環當中去考慮是否生成素理想，但每一個單位都生成環本身而不是素理想.因而，單位都不是在我們考慮的範圍內.簡言之，我們不應該在元素的層面考慮，應當在理想的層面考慮.
這個說實話跟元素的唯一分解沒有太大關係，有很多沒有唯一分解的環當中同樣有素數，比方說 .
upd 2.7.2019：增加了 ，現在可以不用瞎眼了（
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謝邀。1原本是作為質數的，因為它本身滿足質數的定義（1隻可以被1和它本身整除）。1之所以被排除質數的範圍，是因為我們有如下定理：
（唯一分解定理）對於任意整數 ，有且僅有一組質數對
和正整數對
，使得
.
什麼意思呢？它表示這樣一個結論：對於任意的一個整數，你都能把它因數分解，而且結果是唯一的。
舉個例子：1001隻能被分解成7×11×13，而且你再也找不到除(7,11,13)外的一組質數，使它們的乘積是1001。
那麼這個定理有什麼用呢？數論上，它可以用作對數的整除性分析，可以用作抽屜原理中對抽屜的構造，可以用作平方數的檢驗，可以用作二次不定方程的整數解的計算，還可以用作質因數和、因數和等的計算，進而對涉及因數的難題/方程作解集範圍的估計，為枚舉創下條件……；代數上，可以對開方，對數，求冪等運算進行化簡，對高次方程的解進行估計……等等。它在數學（不僅是數論）中重要性不言而喻。
但這一切的一切都有一個重要前提：1不能作質數！
為什麼呢？因為如果1是質數，那麼就用上面的例子，我們顯然可以發現：
1001=7×11×13
1001=7×11×13×1
1001=7×11×13×12
1001=7×11×13×13
……
這樣的式子可以寫無窮多條！也就使得上面的唯一分解定理中的「唯一分解」被否證了。
可是這玩意太有用了，數學家當然不希望這樣。於是為了這個定理，儘管「把1作為質數」的結論很漂亮，也只能無奈地把它拋棄。
（upd：用描述「除1以外的質數」當然也可以，但數學家們懶啊←_←）
於是，1不能是質數。
碼字不易，求個贊，謝謝！
《數學思維》裏有一段講的通俗易懂。
質數就是「只能被1和它本身整除」的自然數。然而，我們必須在此基礎之上增加一條警告，宣稱數字1不是質數，這簡直就像馬後炮一樣。
有時候人們會這樣解釋這個額外的限定條件：「質數是有且僅有兩個因數的自然數，而1隻有一個因數。」這個說法是對的，但它並沒有解釋為什麼我們要這樣規定。關鍵在於理解質數為什麼存在——它們是我們運用乘法而非加法構造新的數字時所使用的基本構件。如果我們只使用加法運算構造新的數字的話，我們只需要數字1，然後不斷地加、不斷地加，就可以得到其他所有的數字。而如果我們要使用乘法運算構造新的數字的話，那麼數字1就沒有用了，因為任何數字乘以1還是它本身。也就是說，1在這裡並不是一個很好的基本構件。
更嚴格地說，我們希望每一個整數都是用質數以獨一無二的方式組合得到的。比如，用質數組合得到數字6的唯一方法是2×3（順序不重要，所以3×2算是同一種方法）。然而，如果我們說1也算質數的話，那麼得到6的方法就還有1×2×3和1×1×2×3，等等。1的存在會破壞一切，對我們完全沒有幫助。所以我們必須彌補這個規則中的漏洞。
因為這是所有正整數在因數關係上的一種序結構所決定的。1不能和2，3，5，7，...一樣視為質數是因為1和2，3，5，7，...等數的序結構顯著不一樣。
設所有正整數的集合 。如果規定該集合上的關係
為：
當且僅當
是
的因數（即
是
的倍數），那麼偏序集
的Hasse圖如下（從小到大的偏序關係從下到上排列，頂點為所有正整數，不同頂點間的因數關係用線段表示，由於偏序的傳遞性，如果存在正整數
使得
，那麼頂點
和
之間不再需要連線）。
從上圖中可以觀察到1是任何數的因數，而2，3，5，7，...這一層所有的數的因數除了1和它們自身外沒有別的因數。這兩種性質的數是不一樣的，不能把他們歸類到一起，如果歸類到一起就破壞了這個因數關係下的序結構。例如如果「質數」同時包含上述兩種性質（是任何數的因數，滿足除了1和它們自身外沒有別的因數），那麼滿足「質數」條件的就只有1了，因為除1以外沒有任何其他數滿足該數是所有正整數的因數，3不是2的因數，5不是3的因數等等等等。那麼這種「質數」概念沒有太多的實際內涵，所以這種「質數」的定義是沒有意義的。還不如直接把「一」拿出來單獨說明。
在上圖的偏序集中，如果把所有正整數按照如下性質劃分： 和
為一類當且僅當從起點1到終點
的道路所包含的所有線段數等於從起點1到終點
的道路所包含的所有線段數，亦即
與
在偏序圖中「同層」，然後按所有被劃分的集合內裏的最小數之間的普通大小關係給對應的集合從小到大用非負整數標號，亦即按偏序圖中從下到上給「每一層」從0開始編號，那麼有
第零層：
第一層：
第二層：
第三層：
第四層：
...
進一步觀察可發現第n層中的所有數都是n個第一層數中的數（可重複）的積。例如：
第零層中的1，它不是第一層中的數的積（0個第一層數中的數的積）。
第一層中的2，是第一層中的數2的積 （1個第一層數中的數的積）。
第二層中的6，是第一層中的數2和3的積 （2個第一層數中的數的積）。
第三層中的12，是第一層中的數2，2和3的積 （3個第一層數中的數的積）。
等等等等
我們可以給某些集合命名，因為這類集合裏的數有著與其他數不一樣的性質。
第零層中的1是所有正整數的因數，即偏序集中的最小元（亦稱零元），「零級質數」。
第一層中的所有數稱為質數（亦稱素數），「一級質數」。
第二層中的所有數稱為半質數（亦稱半素數），有且只有兩個質因數，「二級質數」。
第三層中的所有數稱為楔形數，有且只有三個質因數，「三級質數」。
自邀， @G.Li 說到了關鍵點，但是覺得過於複雜了，對程序員不夠友好。
我們可以簡化一下，將從1開始的正整數看成是一個乘法幺半羣。這個幺半羣的單位元是1，組合運算是乘法。根據算術基本定理（唯一分解定理），所有質數就是這個幺半羣的生成集，因這個幺半羣的單位元是1，因此1不是這個幺半羣的生成集的元素，所以1不是質數。
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