謝邀。

大部分人所謂的「學數學」呢，就是「解題」。這個「解題」呢，其實也不是真的會做，而是在尋找 輸入——題目文本信息，和 輸出——答案文本信息，之間的一個映射關係。而所謂的「學習過程」，有點像機器學習，老師手裡有一個「標準答案」，學生通過不斷的訓練，不斷地擬合標準答案，從而不斷提高「解題正確率」。我相信，隨著自然語言處理和神經網路機器學習技術的進步，這種應試訓練過程總有一天可以被機器所取代——也許現在已經可以了。——畢竟基礎性知識測試都有一個大體的題庫和考察範圍，題目的表述方式也大同小異；很多中學老師所說的「題目萬變不離其宗」，形容的就是這種考試的「可訓練性」。

而真正的做數學呢，分為兩個步驟。第一，真正學習數學，也就是真正理解知識，在自己的大腦裏形成邏輯鏈、產生直覺，用人類引以為傲的心智去思考，去推論，享受真正的思考帶來的快樂；第二，在掌握了足夠多數學知識以後，探索未知的數學世界，用已經學過的數學工具／方法／理論，或者自己創造的數學理論，去發現新的數學事實和關聯。這跟「擬合標準答案」完全不是一個境界的思維活動。

少刷知乎，多看數學專業書。

應用的數學學習，誠如Yuhang Liu所說的，是通過「強化學習」（也就是試錯），或者「監督型學習」（也就是找到題目和標準答案的關係，並運用於別的題目上）。兩者是有一點區別的，不過同樣不需要知道數學的邏輯系統和推理方法就能找到正確答案。

理論的數學學習，感覺就好像自己是定義、公理、推理方法的搬運工，不斷搬運它們，來產生新的定理。這時候，就需要很強的邏輯能力，以及對於上述幾個「需要搬運的知識」的認識：簡單地說，知道它們是什麼，以及應該用在哪裡。到了這個階段，就可以證明一些「顯然」的定理，也可以證明一些「這也能證？」的定理。

數學的工作，也就是科研的工作？估計就超出了可以回答的範圍了。不過，多半是

對於一些數學上重大問題的解決，或是創造一個擁有「數學價值」的知識體系。

這是對於阿蒂亞爵士說的話的概括。舉個不恰當的例子：前者就像解決黎曼猜想，後者就像創建測度論。

不過寫了這麼一段，又感覺這個問題是無法回答的。當不同人說「做數學」的時候，表達的意思是不一樣的。「做數學」沒有一個公認的定義，小學生可能在解一元一次方程，大學生可能在研究。。。可能性太多，不知道怎麼說。沒有一個普世皆準的答案可以回答這個問題。

推薦讀讀伍洪熙教授的《黎曼幾何初步》的引言：https://zhuanlan.zhihu.com/p/19671092

可能是研究自己感興趣的數學題

波利亞舍貴 有本 數學分析的問題和定理 不看解答 一道一道做裡面的題就是做數學

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