網傳的「車輪悖論」是否成立？
由網友 香煙飄渺35 提供
狹相——車輪悖論
比如說，大地上跑著一列火車。火車（設為 A 慣性系）、大地（設為 B 慣性系）。再假設火車速度為 0.5c（c 為光速，c＝300000000m/s）。火車每個車輪周長為 1.5m。火車上有一個10ns（納秒）鍾，每 10ns，該鐘指針轉一圈。如按牛頓力學，無論對於 A 系（火車）或 B 系（大地）：每過 10ns，鍾（指針）與車輪都同轉一圈，按車輪周長算:火車向前行走 1.5m。也就是火車速度都是 0.5c，無問題。 可是，假如按照狹義相對論，對 A 系觀察者速度無問題（v＝0.5c）。
而對 B 系觀察者：按照相對時間公式計算，對於 B 系（大地）觀察者：自己時間每過 11.547ns，火車上的鐘（指針）與車輪才能轉一圈（對 B 系觀察者：A 系時間慢，A 系鍾只能走 10ns），由於實際車輪 1.5m 的周長限制，火車在 11.547ns（B 系時間）時間內，最多走 1.5m。而 1.5m 除以 11.547ns，這速度不等於而是小於 0.5c（1.5m/10ns＝0.5c）了，速度對不上帳了！這就等於對狹相公式構成悖論！ 這是我做的車輪悖論！
總結：狹義相對論說，對於 B 系（大地）觀察者來說，對方（A 系）的時間慢了，即 A 繫上的 10 納秒鐘（指針）與車輪都轉的慢了，導致對於 B 系觀察者，火車速度與原假設的 0.5c 速度對不上賬了。可由此判定:狹義相對論錯誤！
如果換低速問題一樣存在，只是速度差的小而已！
沒有任何悖論，量化計算下答案就很明顯
任意取車輪上一個點，在某個瞬間記為事件 ，該點繞一圈回到起始位置記為事件
在車的慣性系 中觀測，由於點回到同一個位置，因此這兩個事件的空間坐標是一致的，假設
事件坐標為
，
事件坐標為
根據洛倫茲變換，在地面慣性系 系觀測，兩個事件坐標則分別為
那麼在 系觀測，該點橫向移動的距離為
，時間間隔為
該點橫向移動的距離，就是車移動的距離，因此在 系觀測，速度就是上面的距離除以時間間隔，結果為
樓主你知道你犯錯在哪裡嗎？
你都記得有鐘慢效應，卻忘記還有尺縮效應
在車的慣性系看來，路面在勻速運動，因此是尺縮的，對於路面上固定的兩點，其測出的距離，比在地面上測短一個尺縮因子（因為地面上固定兩點相對地面自身慣性系是靜止的）
因此，如果車上認為車輪上一點，先後兩次接觸到地面上距離為 的兩點（即轉一圈），在地面上觀測，這兩點距離為
而該過程在地面觀測的時間為
所以地面觀測其速度，兩式相除，速度依然是
靜止測量為1.5m的車輪在0.5c的速度下就不是1.5m了，這是尺縮效應。
只記得動鍾變慢，卻不知道動尺縮短，這個相對論是從電影裏學的吧?
如果考慮縮放，那麼一切都要縮放。
這個壓根就不是悖論，你忘記了距離也被縮放了
鐘慢尺縮，你只考慮了鐘慢沒考慮尺縮，火車參考系的1.5m比地面參考系的短，對火車來說10ns走車輪周長1.5m，對地面來說11.547ns走車輪周長1.73205m，速度一致
有毒吧，看到車輪就應該想到了，旋轉的車輪是個非慣性系，應該用廣相計算，不應該用狹相。我記得舒幼生老爺爺寫的《力學》裡面舉了好多用狹相計算髮現不自洽的例子，然後作者就給我們解釋，在這些例題裡面哪些部分超出了狹相的範圍，應該用廣相計算，所以只用狹相計算會出現謬誤。
補充一點，要是研究對象不涉及車輪上的點的話其實可以使用狹義相對論（當然這題不適用），一般會有兩種做法：第一種是高考做法（尺縮+鐘慢+鐘不對齊），三種效應要同時考慮，缺一不可；第二種就是洛倫茲變換啦，這種方法適用範圍廣，計算方便，但是不適合秒題。
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