最好能給出柯西收斂原理、數列單調性等多種證明方法。
用高中常用的不等式即可
故有
而容易知道右邊是是收斂的
對於一個數列 ( ),如果 恆成立
那麼 會和 同斂散
這是這麼證明的:
我們知道對於 ,
所以有
這說明
同時,將
逐項將括弧乘開,由數學歸納法,很容易得
從而
假如數列 有極限(表記為級數 的和)
那麼由單調有界定理,單調增數列
同樣存在極限,從而 收斂
同樣,如果 收斂
則單調增數列 也收斂,級數 收斂
此處實際上用比較判別法的極限形式更直觀一些
(當然比較判別法本身就是由數列的單調有界收斂定理推導得來的)
當 時,顯然 和 都是發散的,不多談
當 時,顯然有
由比較判別法可得,
級數 和 同斂散
回到這題,實際上
由於 和 同斂散
我們又知道
所以前者當然收斂
關於 這個結論,那證明方法太多了,可見:
事實上這個數列的極限是可以有精確值的:
首先由 的連乘展開:
變數替換後得:
代入 得:
由歐拉公式易知:
其中
於是,
即:
那我就來一個推廣的公式吧(證明在文末):
當 時,有:
它是我最喜歡的公式之一。
這公式一出,可以解決一大堆無窮乘積的問題。
在計算過程中,我們還需這兩個常用公式:
……
現在證明這個公式。
由Weierstrass公式:
可得:
把 分別換成 帶入 式,換成 帶入 ,然後相乘可得:
由於無窮乘積 的斂散性等同於無窮級數 的斂散性,於是取 我們知道 是收斂的,所以 也是收斂的。
事實上,由此還可以將結論推廣為: 在 時收斂,在 時發散,這隻需要注意相應級數 的斂散性就夠了。
至於求值,只需要注意以下展開式 並將 代入,馬上就可得到