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我自己也曾問過同樣的問題，答案是：

我們需要考慮力對一個物體是怎麼做功的，因為做的功本質上是能量。

Work=Force * Distance traveled (參考摩擦力做功， 一牛的力，拖拽一個物體摩擦一米，做功為 )

這個一焦耳就是離隊伍題做的功。

那我們來看看那引力：

問題來了，這個力會隨著距離而變化，所以如果我們想計算引力做的功， 那我們要用積分。

比如說，從5萬米的高空讓一個物體自由落體（不計空氣阻力）到地面， 那麼重力做了多少功呢？

或者說，在物體下落前的一瞬間，他有可能（加黑，注意理解）被引力做多少功。關鍵看這個有可能：

這個物體還沒開始自由落體， 但是如果你讓他自由落體，他有可能被引力做功。那個功的大小是跟它的高度有關係的。

那我們來看這個例子，五萬米跟一萬米, y 作為高度上的變數。 （我的積分上下限跟我的裏的方向有關係，這裡我力的方向取用了-y， 因為引力朝下）

這裡每過一小段距離 ， 重力做的功就是

那麼當 無限小:

寫成積分形式：

那麼這兩個積分的大小是不一樣的，而且直覺上來講，五萬米自由落體跟一萬米自由落體，肯定五萬米那個情況做的功要更多。

由此，希望你能更好的理解 做功 跟 有可能做功

這個 有可能做功就是 勢能，那接下來我們看引力勢能的最終公式是怎麼來的：

有兩種情況：

1.當引力變化的時候 （地球月亮，衛星這種距離很遠）：

注意這裡勢能中距離r 不再是平方了

2..當引力不變化的時候（就是一般初中，當物體運動接近地面）：

完整推導：

這裡我們不再用y， 而是r 來代表三維的距離

這裡我們先求不定積分：

化簡：

constant提出積分

不定積分化簡：

最後得出：

有兩點需要注意，是否有負號取決於你的引力方向，這裡不做多敘述，以防混淆視聽，這個文章是為了讓你更好理解引力勢能的推導。

第二點： 求值的時候需要帶入邊界值。

第二種情況，當引力不變的時候（接近地面）：

引力 F=m*g

=

（r可以被替換成h 用來代表高度）

由此兩種情況都推導完成。 更重要的是理解勢能和能量的求法，因為物理學中有很多很多公式都是由很基本的概念推導出來的。

比如電荷互相吸引，由庫侖力產生的電場勢能，用同樣的的方法，你也可以自己推導：

F=

如果你學會的話，一個系統的機械能=勢能+動能。 現在勢能你已經會推導了

那麼請你試試你能否自己推導出動能的公式

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這是我講課時的PPT，希望你能看懂

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做一些補充說明：有的書上（特別是大學書）會在萬有引力公式前加一個負號，這裡其實是把萬有引力公式裏分母中的 看成了矢量，也就是所謂的「矢距」。它的方向由我們選取的中心天體指向運動天體。

引力勢能中的負號則很值得討論：

一天體m在中心天體M的引力作用下由無窮遠處移動至A點，引力方向與天體運動方向相同——均指向M。

類比「重力勢能減小，重力做正功」的事實，引力做的正功為

…………………………第一次出現負號，源於功能關係。

鑒於將m從無窮遠處拉至A的過程中，m-M間距不斷減小，萬有引力不斷增大，是變力。故藉助積分處理引力做功，

…………………………萬有引力做正功， 是M到A的距離。

…………………………原函數中出現負號，但隨後會被消去。

…………………………反常積分。

而

即 …………………………還是功能關係裏的負號。

由此得到，兩天體相距為 時，引力勢能為： 。

得證。

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假設球狀天體（用M表示），質量為M，球心在坐標原點O，M的半徑為R，在X軸上X點處有一質點m。

則m在任意位置x所受M對它的引力為GMm/x2,引力阻礙m的遠離，所以當m遠離時引力做負功，從X1處到X2點處引力所做功為

引力從X1到X2處的定積分

∫x1X2(GMm/x2)dx=—GMm/x1—（—GMm/X2）= GMm/X2—GMm/X1

勢能為：GMm/X1— GMm/X2 （x2≥x1≥R）

在地球上，簡略的認為各處引力大小相同，所以認為勢能就是高差與重力之積。

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對萬有引力公式進行積分就行了，定義的話可以參考一下重力勢能的定義，重力做功則重力勢能降低，勢能變化量為負值，那規定無窮遠處引力勢能為零，得到的引力勢能就是負值。

推導過程找了網上的圖片，你參照一下。

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