如何論證球體體積為4/3πr^3？

本人中考才完，對很多概念不是很清楚，希望能得到比較淺顯易懂的答案。

我理解的 球體 是 一個圓 繞 一條直線 旋轉 形成的，所以 也可以 看做 是 無數個圓 繞 一條直線 堆積起來的 ，那麼 圓 的 面積 是 πr^2 ，圓 的 周長 為 2πr，則球 的 體積 應該 是 π^2 r^3 ， 這又是什麼回事？

求大佬解答。。。。。。。

題主正在微積分直覺的建立階段，這個時候直接給一大堆積分公式，可能會在一知半解的情況下帶來很多困惑，從而對以後的學習產生阻礙。

如果題主有志於有競賽道路或者少年班道路，那麼研究一下這些比較簡單的微積分問題是沒毛病的，但是這個階段不建議閱讀國內教材，即使英語水平不足，也推薦看國外教材的翻譯版。這方面，在知乎搜微積分教材推薦可以找到很多，不清楚自己水平的情況下，選一本最簡單的教材的中文譯本就很好。題主知道在遇到問題的時候尋求網路，而且找到知乎上來了，這已經比我當年強很多了，下次有疑惑的時候也應該多尋求於網路，但是注意搜索引擎不要用Baidu，如果不能用Google的話，用Bing也是很好的。

回到題主的問題，題主已經自問自答了，前一種方法用的是祖𣈶原理，也就是處理規則幾何體時將其切成許多薄片摞起來的辦法。

實際上，這種辦法下，不如想想，我們能否把一個球和另外一個幾何體對應起來，使得它們在每一個水平高度下的面積都相等呢？

答案是可以。

維基百科上關於祖𣈶原理中文詞條的說明

英文詞條Cavalieriamp;amp;#39;s principle的說明

一個球體可以和一個與其等高的圓柱體中，對稱地挖掉兩個圓錐相對應，實際上答主自己在計算的時候就發現，球體某個截面的面積是 [公式] ，這恰好可以寫成圓環的面積。

題主順著這個思路想下去，可能會進一步疑惑為什麼球的表面積是 [公式] 。按照圓面積的推導方法，圓可以切成小扇形然後重新組合成矩形。同理，球可以切成無數的近似的四稜錐，而底面積是 [公式] 高為 [公式] 的四稜錐的體積是 [公式] ，所以球的表面積和體積的關係在數值上是3倍。

反過來，如果我們能夠不藉助這個關係推出球的表面積公式，也可以得到球體積的辦法，而球的表面積公式，有一個欄目說的比我的好得多（你猜對啦，我其實就是想推薦他才提的表面積）。

【官方雙語】為什麼球的表面積是同樣半徑圓的面積的四倍？?

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順帶一提，這個up的視頻我推薦都看看，對培養數學直覺非常有用，很適合做為高等數學的啟蒙。

1.曲面上的坐標

三維空間中的曲面可以由 [公式] 給出，其中 [公式] 在 [公式] 平面中的某個區域內變動.

*Definition.1.稱[公式]為給定曲面上的坐標.

*Definition.2.稱點 [公式] 是非異的，若在該點滿足[公式]的雅可比矩陣秩等於2.

Example.1.可以在球面上引入坐標 [公式] 使得 [公式] , [公式]，[公式] ，( [公式] 是球面的奇點.

2.切平面

設 [公式] 中的一個曲面由參數給出:[公式]，[公式]，其中 [公式] 是曲面上的坐標.以坐標[公式]給出的曲線 [公式] ，[公式]定義了在我們在[公式]中曲面上的曲線 [公式] .

它的速度向量為 [公式] ，其中 [公式] ， [公式] .

如果我們所討論的點是非異的，則向量[公式], [公式] 線性無關，那麼曲面的任意切向量是 [公式], [公式]的線性組合.

*Definition.1.以[公式], [公式]為基張成的二維空間稱為該點處的切平面.

顯然在切空間內速度向量的坐標為 [公式] .

Example.1.對於拋物面 [公式] ， [公式] ， [公式] ，則 [公式] ， [公式] .

3.曲面上的度量

設給出了曲線 [公式] ， [公式] ，它的長有形式 [公式] ， [公式] .

此處 [公式] 是曲線在坐標 [公式] 下的速度向量，而 [公式] ，其中 [公式] ， [公式] ，[公式] 是在坐標[公式]上的黎曼度量.

自然的，我們認為曲面上的曲線[公式] ， [公式]在三維歐氏空間中的長是它的長.

那麼有 [公式] ，

依據 [公式] ，得到 [公式] ，其中

[公式]

[公式]

[公式]

如果令 [公式] ， [公式]

則 [公式] ， [公式] ， [公式] ，這也可由內積的性質直接推出.

*Definition.1.稱 [公式] 為曲面上誘導的黎曼度量.

4.曲面的面積

假定在給定坐標 [公式], [公式] 平面上給出了黎曼度量 [公式] , [公式] , [公式] .記 [公式] , [公式] 為該平面的基，記[公式] , [公式]為歐式空間的基，則可以將[公式] , [公式]寫作[公式] , [公式]的線性組合

[公式]

那麼我們有

[公式]

記 [公式] ，有 [公式] ，則 [公式] .同時注意到 [公式] 的幾何意義正是[公式] , [公式]張成平行四邊形的面積.

另外注意到 [公式] ，故 [公式] ， [公式] 表示向量積，其幾何意義是切空間的基張成平行四邊形的面積.

通過比較，可以發現，像對長度的度量一樣，面積的度量不依賴於坐標的選取.

Definition.1.稱 [公式] 為曲面 [公式] 在區域 [公式] 上的面積.其中 [公式] 在 [公式] 平面中由參數給出.

Example.1.在球面上引入坐標 [公式] 使得 [公式] , [公式]，[公式]，那麼黎曼度量有形式 [公式] ,可得 [公式] .

Example.2.對於拋物面 [公式] ， [公式] ， [公式].可得 [公式] .

Exercise.1.嘗試證明球表面積公式 [公式] ，及體積公式 [公式] .

易得[公式]，有

[公式] = [公式] [公式]

這可能就是傳說中的自問自答吧。

高中選修2-2裡面我看完了。

然後問題就很簡單了，下面是證明，字醜，而且高一學生書寫格式不標準，請大佬們多多指教。

再補一張大學的證明方法:

推薦題主可以去看一下bilibili上3Blue1Brown的視頻，上面有很多關於這方面的視頻，我微積分就是那裡學的 滑稽

本高三學渣數學必修二中有一句

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