在書中看到高斯把二次互反律認為是黃金律，也將其稱為 基石，且總共給出了8個不同證明，這裡面存在什麼樣的美如此吸引高斯呢？

用Yuri Manin的話直接回答題主足夠了：

When I was very young I was extremely interested in the fact that Gauss found seven or eight proofs of the quadratic reciprocity law. What bothered me was why he needed seven or eight proofs. Every time I gained some more understanding of number theory I better understood Gauss mind. Of course he was not looking for more convincing arguments - one proof is sufficiently convincing. The point is, that proving is the way we are discovering new territories, new features of the mathematical landscape.

針對某個答案說幾點：

1. 我很討厭一些把Gauss過度神話的故事，什麼正十七邊形一晚上就做出來的傳說根本就無從佐證。但凡看過Gauss和Gerling之間通信的人都知道Gauss在單位根問題上的準備可不只是一天兩天。1795-1796冬季學期他可是一直在想單位根的問題。尺規作圖這事不是他關心的最重要的問題。

2. Gauss關於二次互反律的第一個證明是1796年4月8日，在十七邊形作圖(3月30日)之後不久。他當年日記條目有一大堆，包括任意自然數是三個三角數之和的命題(來自Fermat)，不是什麼"整整一年左右的時間裡，幾乎除了這個問題什麼都不想"。

3. Gauss推演不順暢的那是Gauss用Gauss和證明二次互反律的時候。沒有什麼史料說明Gauss在一開始證明二次互反律就碰到釘子。

4. Legendre被這個答案的答主完全遺忘了。

5.

"這個問題讓他對數學以及前人有了敬畏之心，即使他充分地認識到人類的愚蠢，在之後的數十年裏一直到死，對於成果的發表，對於當世數學及同行的評價，他都顯得異常審慎。"

Gauss本人的完美主義性格與這種論斷最多是部分交疊。加上Gauss本人的性格，我不認為這種論斷足夠縝密。

二次互反律不是高斯發現的。至少在歐拉時代數學家們就知道了。但是，歐拉，拉格朗日等巨佬雖然都研究過，卻沒能給出證明。

高斯接觸這個問題的時候已經快20歲，前不久剛完成正十七邊形的作圖以及相關命題的證明，可謂意氣風發，覺得自己無所不能。 估計他一開始覺得這個問題很easy，最多幾天的工夫吧（傳說正十七邊形的作圖他一個晚上做出）。然而事實上他撞到牆了。這個問題讓他對數學以及前人有了敬畏之心，即使他充分地認識到人類的愚蠢，在之後的數十年裏一直到死，對於成果的發表，對於當世數學及同行的評價，他都顯得異常審慎。

高斯在整整一年左右的時間裡，幾乎除了這個問題什麼都不想。最後他成功了。在自己最黃金的歲月，花了整整一年的時間，所完成的成果，任誰都要珍愛一輩子的。高斯曾說「數學是皇冠，而數論是皇冠上的明珠」，不是一時拾得的金句，而是以其學術經歷打底的。在此之後高斯所經歷的一些在他看來不幸乃至慘痛的經歷，比如金主布倫瑞克公爵因對法國人的戰鬥受傷後不治離世，他失去經濟來源不得不到格丁根大學管天文臺，當老師；摯愛的第一任妻子早早離去（婚後四年），孩子早夭等——更使得他對無憂無慮的青年時期做出的正十七邊形和二次互反律以及那段歲月念念不忘。以至於到了晚年，高斯對於自己的語言天才（英法德拉丁俄他都會），穀神星的軌道，代數基本定理的證明，超幾何函數，非歐幾何，正態分佈等都無動於衷，唯獨正十七邊形和二次互反律，一而再再而三地在學生和友人面前提起。二次互反律對我們而言不過是數論中的一個定理，而對高斯，卻是一段刻骨銘心的人生歷程，是他的人生的一個高峯。

我們現在通常見到的證明的最後部分（兩個三角形數點點），並不是高斯給出的，而是後人（愛森斯坦，也是大佬）提出的。這使得這個讓高斯魂牽夢縈經年的問題的證明只需要幾頁紙就能呈現在我們面前，即便是隻有中學數學水平的人，在理解二次剩餘的前提下，最多花上半天的時間就能弄明白所謂的「二次互反律」。然而我們卻不能失去半點敬畏之心，甚至產生歐拉、高斯這些巨佬不外如是的想法。很多現在看來淺顯、簡單甚至一目瞭然的問題，有不少是人類花了千餘年的漫長歲月纔得到的成果。

這種問題你應該去問他本人

因為二次互反律很有意義，反映了素數之間的一些異同，有的素數差不多，有的素數差很遠

太難了，我沒有這天賦回答

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