數學專業/物理專業的人，有什麼錯誤的學習數學/物理的方式？

你或你身邊的人學習數學/物理過程中的教訓。

閉門造車。興趣過廣。

對於普通天資的人來說，最靠譜的做法是，儘可能選一個學術上靠譜的教授做導師（當然這中間會有很多競爭，需要你自己去勝出）。然後集中精力在一個方向鑽研，一個報告如果10分鐘聽不懂就不要聽了。做學術一定會有很多取捨，對什麼都感興趣的人，大部分情況下在任何領域都做不出什麼大的建樹。導師存在的意義，在於他可以憑藉他的經驗幫你做取捨，告訴你哪些論文應該重點關注，哪些論文沒必要看。哪些問題值得做，哪些問題已經被做死了，沒什麼剩餘的東西了。

歸農說導師不重要，他全靠自己思考做問題。他這番話當時在知乎上有不少受眾，不過根據我的觀察，哪怕在學術界小有所成的年輕人裡面，真正solo的人，也還是太少了。

如果你覺得機器學習比抽代拓撲等等純數學更有意思，那麼你應該毫不猶豫地做機器學習。只有你覺得數學比其他學科都更值得做的情況下，你才應該考慮做數學。逼格無所謂的，你覺得代數幾何很牛逼，但是你學不會，那有個P用啊。

以上所有建議只適用於普通天資的人，不適用極少數真牛人。我當然只能指導水平不如我的人，最起碼是現在不如我的人。如果我幫過的人裡面有幾個人以後的成就能遠遠超過我，那我會覺得非常欣慰，至少說明我還有所貢獻。

跟他人比學多少東西，而忽略了自己的接受知識能力。知識不是學的越多越好，而是要與自己駕馭知識的能力相匹配。
在做研究時以為要學很多東西，然後不管三七二十一一陣猛學，最後本末倒置，自己沒有壯士斷腕的勇氣來一頭扎進課題中，也就是有沒有做下去的勇氣，和push through的resilience。東西不會現學現做，在學中用，在用中學。如果沒有的工具咋自己來發明或者尋求跨領域合作。

我說說我自己的走的彎路吧。我是一個基礎很差的美本學生，在大學入學時還報的工程，然而卻學的一塌糊塗，發現自己的思維方式完全不是學工科的料，最後經過一番嘗試，開始學習物理，開始也學的非常的愉快。然而與此同時我聽很多人說那些清華北大物院物理大神大一便搞定了四大力學，大二便搞定了量子場論，然後本科便達到博士高年級水平。然後自己十分羨慕，再加上自己大學第一年以後也有了做凝聚態理論的打算，於是開始效仿。大二一年一學期可以選五六門數學物理課，以為自己這樣可以學到很多東西。

而我恰恰錯了，平時作業佔比例較大，還有paper，project，quizzes，exam，幾科全部堆積起來，讓自己除了疲於奔命，而沒有時間來消化，看書，拓展。最後自己疲憊不堪，因為看書時間和思考時間不夠，最後如竹籃打水一場空。即使成績拿了A，可期末考試以後，也一樣學過就忘的一乾二淨，如玻璃過水。

於是我意識到，寧願少選課，不要想一口吃成胖子，眼高手低。自己有足夠時間思考，來動手來親自來驗算書上的例子，經過自己的大腦來問出問題，然後自己嘗試解決，並且和同學教授討論，最後學的東西才能變成自己的。同時要流出足夠時間來閱讀非教材和閑散的閱讀。有的課不一定要逼著自己學，完全可以通過自己看書，與老師預約時間討論來解決。

記得看到文小剛老師的一篇訪談，對我觸動極大，也就是說在教材之外，還要有非正統性的學習，也就是在自己認真看教材，思考之外，看自己領域的科普書籍和文章，也在閑暇時間可以瀏覽stack exchange上的帖子和他人的討論，同時嘗試自己問問題，然後不斷打磨自己的問題，不斷保持學習物理的好奇心和對美的追求。這看起來對學習沒有直接的幫助，但是時間長了，日積月累，這樣的效果卻是相當可觀和強大的。

問問自己，如果都去上課疲於奔命了，去跟他人比速度，以上的這些事情還怎麼來做到呢？

說說自己從自己身上學到的教訓吧。

不做題。下面有回答說過度刷題是錯誤的，那麼我之前的學習方法就是另一個極端——完全不做題，只看正文。後面我發現不做題基本上相當於白學（白學家狂喜），即使學會了也很容易忘。
一下子學太多，結果什麼都沒學好。學一門數學課如果要學紮實，需要理清這個數學框架的體系+做題+反覆回憶，需要花很多時間。一下子誇張的多線程學習會讓自己沒辦法在每門課上花足夠多的時間，導致學不紮實，得不償失。
寫筆記一味抄書。其實筆記應該是用自己的理解把整個框架複述一遍，要用自己的語言。這麼說來，我的數學分析/線性代數筆記都是失敗的。微分幾何的筆記還算是合格了。其實很多你覺得trivial的定理如果自己想明白了，不抄也罷。

我的2020就是個試錯的過程。希望2021能改掉這些毛病。實際上已經改掉了1，心態上已經開始認可2，希望這一年能實踐性的改掉3.

新年快樂。

先說結論：快思考。

由於國內數學考試時間比較緊張，而大神們的傳說往往都是提前多久就可以淡定的交卷，導致我學習數學一直都跟練葵花寶典一樣，天下武功，唯快不破。不只是學習形式上的快，還要超前學等等，感覺一直和一個看不見的影子賽跑。

好在腦子還可以，憑藉小聰明一直撐著。很多時候手上遇到的問題不求甚解，靠著pattern recognition，以及連點成線的能力，大部分需求都可以滿足。但是我對很多比較抽象的概念上的把握比較困難，而且問題的結構一旦複雜艱澀，我就束手無策。

而我有一個朋友，高中時數學是一個戰五渣，進了大學讀的是哲學。機緣巧合之下，他的教授看了他一篇關於概率方面的論文，鼓勵他也去上一上數學課。於是，這哥們很聽話地上了一門數學課，可從此就像開了掛。然後哲學系就少了一個人，而數學系卻多了一頭牛。

因為從我對他的了解，我知道他不是所謂的天賦型選手，所以我虛心向他請教，想知道他逆襲的法門，也想知道我自己的瓶頸該如何突破。

他聽了我的情況，認真地思索了一下，說：」你的問題，就在於比我聰明。「

他繼續向我解釋。

大意是，當我看到一個問題，如果一個小時不能解決，我可能就開始煩躁，甚至直接就放棄了；因為我從小到大的學習，正反饋是很強的，我也太過於依賴這種正反饋。

但是對於他而言，很多別人很快能懂的東西，他看很久都看不明白，這太正常了。雖然他的吸收力一開始比大家可能要慢一點，可以因為長久以來磨出來的耐性與韌性，當他真正花很長時間啃下一個概念的時候，他的理解肯定遠遠要比那些看了一遍就「明白」的人深刻的多。

一門課下來，我們很多人是步出考場的那一刻，東西就忘了大半；而我這位朋友，像海綿一樣把知識點們都吸收了。

學過數學的人都知道，大學以前的數學叫計算，嚴格意義上來說，分析以前的數學都可以叫計算。越是往後，越是需要紮實的理解，不是所謂的蜻蜓點水般的熟悉。

很多人包括我在內，喜歡臆想或是崇拜天縱奇才類的選手，心裡一天到晚想的是，快點刷完這本XXXX，再看這本YYYY，然後就能ZZZZ……

但是在數理方面，真正適合的更多的是郭靖這樣大智若愚、細水長流的選手。他們很有耐心，在吃透一個點之前，從來不會去想接下去的任務。

其實，不論是數學，還是生活，都應該慢一點。

確實有幾點可以講一講，也是我最近的一些想法，可能不大適合於剛剛開始數學生涯的孩子。

看書太重視細節而忽略了整體框架的構建。

在本科的低年級剛入門的時候細緻的看書是很有幫助的，因為一來接觸到的概念往往是很基本的後面到處都會出現的概念，二來通過細細的讀書也有助於培養對於數學的感知，讓自己寫出來的東西也變得嚴謹。但這建立在兩個前提下，其一是你選的這本書要足夠的經典，詳略得當，動機明確；其二是當前的要求是你需要學好某幾門課就行了，自己的知識量也不足以把從不同的書上學來的東西融會貫通。

但當自己開始就某一個方向逐漸接觸到前沿的時候，這兩點可能都不成立了，當自己開始讀論文或者一些deep的數學的時候，就會發現總有些文獻根本不會讓你能細細的品讀。比如眾所周知的floer的某些原始論文，不是有非常過硬的分析功底（比如我就沒有）簡直就是一個災難。作者們給出的一些習題可能單純就是作者覺得太麻煩了不想寫了，這種習題自己去做可能也會是一個災難，不是所有的書都是那種適合細細品讀的。

另外當你真正接觸到某些需要很多前置知識的方向的時候（當然這些方向一般也被認為是fancy的數學），你就會發現比起逐行的check所有的細節，把整個大的picture放到自己的知識體系中反而是更重要的事情，比如說從複變函數到黎曼曲面到復幾何，這其中還包含著微分流形，bundle的幾何，sheaf等等內容，當這些內容又以不同的面貌出現在辛幾何里的時候，就會發現重要的不是跟著作者的思路走（因為作者寫書的傾向和自己所做的研究內容和成書的年代有關），而是建立起自己的知識框架，把從文章里和書里學到的東西放到自己的框架里，這樣才不會覺得混亂無序。

過多的沉浸在學習的快感而不是動手去做點什麼

天賦比較正常的學生到了碩士階段都不應該對學習感到困難了，無非就是花時間的多少而已。我自己反正感覺學東西是很爽的，每天都感覺自己知道了更多的數學拓展了更多的視野這種快感簡直令人慾罷不能。但是很多時候也不能沉迷於學習更高深的數學而是應當回頭看看自己是不是能做點什麼東西了，比如說驗算一些別人沒算過的例子，對於一些問題嘗試做推廣等等。這種過程會逼你正視自己其實有些東西沒學明白，其實有些工具理解了並不代表能用他來做東西。

當然我自己也處在這個階段，願與諸君共勉。