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設 ，事實上根據 有：

令s=-1，得：

如果素數計數函數的梅林變換能夠被解析延拓，則可得到對應的和

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@知乎小管家 知乎編輯器的積分號怎麼也壞了！？

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以下內容搬運自WolframMathWorld

類似於黎曼 函數，我們可以定義「素數 函數」： ，其中求和號對全體素數求和。通過以下等式，它可以和黎曼 函數聯繫起來：

反演得 ，其中 是莫比烏斯函數。

我們立刻能夠計算出

而形式上有 。我不知道它是否收斂，不過看起來並不收斂。

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給發散級數分配數值的方式有很多種，不確定是否存在某種求和可以「算出」全體素數的和。但是在 的框架下是算不出的。

全體自然數「和」為-1/12是由下列兩種方法算出的：

1 - 拉馬努金求和

拉馬努金求和需要函數 的高次導數衰減的速度夠快，對應的歐拉麥克勞林餘項趨於0。 滿足這一條件並由此算出-1/12。但 在 為素數時為 ，其餘時刻為0的存在「空隙」的函數顯然不滿足這一條件，因此無法計算拉馬努金求和。

2 - 黎曼 函數正則化

黎曼 函數 的定義域為實部大於1的複數，利用解析延拓可以把其定義域擴大到整個複數域（1除外），並求出 時的延拓函數值-1/12。

而素 函數 同樣定義域為實部大於1的複數，但用解析延拓最多隻能把其定義域擴大到所有實部為正的複數（1除外），無法延拓到複平面的另一半，因此不能用這種方法求出 時的值。

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有的，全體素數的和是 。

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