---

無理數與有理數構成了實數集，實數集的構造是為了在有理數的基礎上拓充數系使其具有確界原理（完備），即任何一個有界的實數子集的上確界/下確界在實數集中

舉個例子，考慮S={x｜x^2&<2,x is in Q}這個集合，可以通過一定的構造證明Sup S不在Q中，實數集就是為了讓這樣的集合的確界能被找到。（事實上我們知道Sup S是根號2，也可以證明這不是個有理數）

---

https://b23.tv/BV1Zt411b7jP/p1?

b23.tv

請。

---

從幾何上，最著名的例子就是邊長為1的等腰直角三角形的這邊長為根號二了。

通過這個我們知道了在數軸上有理數之間似乎存在其他的數，或者說有理數並不完備。

實際上，實數的完備性理論是為了微積分發展的需要才建立起來。我們能構造出一個有理數數列但它是收斂於一個無理數的。所以為瞭解決這個問題，必須需要一個具有完備性的數系。

---

為什麼「要」有該怎麼回答？我們可以用一些具體的構造中證明無理數的存在，無理數本身也把有理數擴充成完備的實數，為什麼有是無法回答的，但無理數確實存在在數軸上。應用的話pi，e在計算中都非常廣泛。

---

你在低估無理數的作用嗎？

很有作用。因為無理數是數軸(實數)的主要部分，無理點是物體的主要部分，而有理數只是一堆稠密而離散可數的點。如果沒有無理數，世界是空的，是虛無的，因為有理數是可數的。去掉有理數，那麼世界的表面和原來並沒啥區別，但一開始認知時就麻煩了，去掉無理數，世界就不復存在，是一堆點組成的虛無的空間。有理數雖然稠密，但是不連續，在幾何上，經常碰到無理數，而且無理數的數學意義很廣闊，比有理數廣闊的多，比如開方開不盡，就用無理數，對數算不出，也是無理數，還有類如πe那類的，同時構造出的數，也有無理數的存在，還有之後的乘方以上的運算，只要在實數範圍內有意義的，都是無理數(比如反階乘(如求幾的階乘是3)，也用到無理數)。而且，我們能認知的無理數，只是無理數集中可數的一小部分，還有一大堆無理數是定義不出來的……簡單點，沒有無理數，你知道怎麼求正方形的斜邊，怎麼求圓的周長面積？

---

沒有無理數的話連直線都沒有了，這個世界就是由點構成的了

---

1，無理數比有理數多

2,從認識論角度是偉大的進步

3, 我也說不清有什麼用，但一直認為很有用。連小學生都可能遇到無理數的問題。

---

為了構成實數的完備性，不然你知道單位正方形的斜邊邊長是怎麼定義的嗎？

---

推薦閱讀：