滿足n^2+1是素數的n組成的數列OEIS編號A005574，但沒有提到這個數列是不是無限長的。哈代-李特爾伍德猜想這個數列中小於n的數的個數約與sqrt(n)/log(n)成正比；若該猜想得到證實，那這個數列就是無限長的了，不過這個猜想也還沒得到證實或證偽。

有趣的是，哥德巴赫對這個數列也提出過一個非常「哥德巴赫式」的猜想：這個數列中所有的偶數均可由這個數列的其他兩項之和表示。這個猜想目前也還沒證明出來。

搬運Wiki:

Landaus problems?

en.wikipedia.org

根據Mertens第三定理[1][2]可知（其中 [公式] 為歐拉常數）：

[公式]

因此其實 @happytdw 回答所給出的漸近式實際上應該為：

[公式]

但後面極限的計算仍取決於n和R，所以不能直接使用調和級數。

參考

  1. ^Mertens Theorem -- from Wolfram MathWorld https://mathworld.wolfram.com/MertensTheorem.html
  2. ^Mertens』 Formula | Travor』s Blog https://travorlzh.github.io/2020/12/24/mertens-formula.html

原問題等價於

是否存在無窮個正整數x，使得x^2+1是素數。

這是個未解決的問題

就個人而言

不是很喜歡點進知乎就看到世界上都沒解決的問題

可能題主是要強調數學青年的歷史使命感

。。。。。。這很讓我這fw自閉。

給出一個數列的通項公式（例如有理係數不可約多項式），問：(A)其中的整數數值項；(B)其中存在若干數量的項；(C)其中的所有項；(D)其中自變數定義在某個集合上的項，使得這些項為素數。這類的問題太多了，並且有一些問題可以轉化為這樣的問題；這些問題都是關於素數分佈的問題。這些問題，大多數都是目前未能徹底解決的數論難題，數學難題。

此處提問可以按上述思路描述成這樣：

已知數列通項為f(n)=nn+1，問(B)是否存在無數個n，使得f(n)為素數。 這是目前全世界眾多的優秀的數學家和數學研習者、數學愛好者們尚未完全解決的問題之一。這裡有一篇論文聲稱證明瞭這個猜想：

N平方加1型的素數是無窮多的?

www.docin.com

另有：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/337029286?

zhuanlan.zhihu.com圖標

{

外一則：參考：

證明f（n）=n^2+1，則使f（n）為質數的n的值有無數個。

試證思路：假設使得f（n）=n^2+1為素數的自數數n只有有限個，不妨設其中最大的自然數n=M。於是，對於所有n&>M，n^2+1均為合數。然後由此推出矛盾。待補充。

}

相似的問題還有：已知數列通項為F(n)=2^(2^n)+1，問(B)是否存在無數個n，使得f(n)為素數。這是費馬(fermat)素數猜想，目前僅僅知道當n=0,1,2,3,4時，Fermat數F(n)為素數；這類數增長很快，計算有難度，目前尚未發現有第6個這類型的素數；有人猜想僅有這五個Fermat數。再如Fibonacci數列中的素數分佈問題；再如梅審(梅森，麥什涅，Mersenne)數問題，可以描述成這樣：現有M(n)=2^Pr(n)-1，其中Pr(n)為第n個素數，問(B)是否存在無數個n，使得M(n)為素數。再如孿生素數問題，現有N(n)=Pr(n)+2，其中Pr(n)為第n個素數，問(B)是否存在無數個n，使得N(n)為素數。此外還有相似的多生素數問題。打住。。。如何將哥德巴赫猜想用這種方式來描述? 待研究。外一則：哥德巴赫猜想轉述：已知Pr(n)是第n個素數；求證，Pr(a)+Pr(b)-4的值遍歷所有非負偶數，即集合{x=2n|n∈N}；或者說，Pr(a)+Pr(b)的值遍歷所有&>=4的偶數，即集合{x=2n+4|n∈N}

偉大的Iwaniec在1978年證明瞭有無窮多個形如n^2+1的殆素數（即素因子個數小於等於2的數），可是是否有無窮多n^2+1素數，目前來看仍然是一個遙不可及的問題。

這個問題換個提法就是是否存在無窮個形如n^2+1的素數，答案是肯定的。

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