---

數學問題跟數學問題區別太大了。當然我理解題主問的數學問題大概是指中學或者本科非數學專業高數課習題、考試題一類的。我打個比方吧，常規數學課的常規習題猶如搬磚，大部分人只要花時間都能搬得動的。工作量的大小主要取決於磚的數量。當然有時候磚堆得太高了，頂上的磚你夠不著，可能需要搬張凳子過來站在上面才能開始搬——這個借用凳子的過程就叫做「解題技巧」或者「解題工具」。

舉個例子吧，高考壓軸題裡面可能會出現要求某個函數最大最小值的問題，有些人會心一笑，求導；有些人可能就懵逼了，題目裡面根本沒提到導數啊，你怎麼知道要求導？當然題目可能不會這麼直接，可能要約化幾個步驟以後才能轉化成最值問題。但有些人的腦筋就是轉不過這個彎來。非得是題目裡面明確寫出來求哪個函數的最值，並且還得加一句提示——用求導數的方法解決，他才能記起來最值問題可以通過求導來解。如果是題目本身看起來跟微積分沒半毛錢關係，只是中間步驟出現了求最值的問題，他就不知道可以求導了。這就叫做「磚太高了，不記得要搬凳子」，或者說不會舉一反三。

至於真正的數學研究級別的開放性問題，那就像是野外攀巖——你不知道要踩哪個位點才能保證你能爬上去，你可能要多試幾次，同時你的地質學知識（數學知識）、你的經驗（研究經驗）都非常重要。當然我們這裡假設你有充足的防護措施，攀巖踩錯了不會摔死，以及你已經攀過的路段，你能夠重複原來的過程攀上去。所謂證明數學猜想就是這麼一種感覺，很多人都爬到那個地方了，不知道怎麼上去，某個天才/大佬突然發現某個隱蔽的地方可以踩著上去，或者通過一套風騷而複雜的走位繞過眼前的障礙，爬到更高的地方。數學上的研究突破，其實就是這麼回事。

所以你要問數學家們怎麼思考問題的？其實真沒什麼特別好說的。一靠天賦，靠自己的觀察發現新的技巧、新的工具；二靠投入，通過長時間的持續思考，一點點往上走。當然有可能在某個地方卡住，一卡就是幾年幾十年都有可能。卡住的地方，就叫做這個問題的「本質的困難之處」。

最後給大家分享一篇數學論文吧，看懂他只需要知道一點點黎曼幾何（什麼是平坦的黎曼流形），剩下的主要工具就是線性代數和初等數學。數學專業的本科生花時間理應能看懂的。這篇文章就相當於我上面說的，高級一點的搬磚，並沒有本質的困難。如果這種文章都看不下去，確實也跟數學研究沒什麼緣分了。

A geometric proof of Bieberbach"s theorems on crystallographic groups | Semantic Scholar?

www.semanticscholar.org

我找不到PDF版本，大家能找到的話可以在評論區分享一下鏈接，否則的話可以私信我，我發過來。

---

轉自：簡書

鏈接：搜狗搜索引擎 - 上網從搜狗開始

1，質疑一切

在我看來，數學的真正美妙的地方之一在於它可以被檢驗；你不必把任何人的話當做聖經。如果有人給你說一些事情是真的，那你可以讓他證明；最好是，如果你真的想同數學家一樣思考，那你可以嘗試主動證明它。不要等著有人拿勺子餵你；對於一些人的話，你的反應應該是懷疑，並且試圖去找到一個反例；即便是真的，這種對你的鍛煉也是有益的，同時也能幫助我們對事情的判斷力；（注意，在真實生活場景中過度這麼做可能會失去朋友—— 一直挑別人的刺，誰都會不爽）某報紙的一份來信說時間旅行從邏輯上是不可能的，因為如果時間旅行是可能的，那我們是會看到很多來自未來的人。我有一些想法來反駁這個邏輯：或許時間旅行只允許我們穿越到過去某點時間（比人類歷史還要長）；或許時間旅行者不允許和我們交流；或許時間旅行有一個範圍，能穿越的時間不超過一年，而時間旅行在數年後纔出現（並且時間旅行的機器不能穿越）。2，寫下來寫下來？你可能會問，這跟和數學家一樣思考有個啥關係。是這樣的，語言是由一些論據構建的。高水平數學家的論據都是證明的形式（不僅僅是給出正確的數字答案）

學生通常看不到寫下來的需要；他們常常說：』我來大學不是來寫作文的』，』我已經知道正確答案了』，』你懂的』。他們的作業都是一些沒有關係的符號堆砌但依然可以獲取高分。但是，如果你想去理解數學並且思路清晰，通過寫的練習可以迫使你對自己的觀點想的更清楚。如果你不能正確的描述，那麼很可能你並不是真正理解了你要表達什麼。這是一個可以學習和發展自己技術的很好機會。其實寫的一手好文章在任何領域都是很有用的技術。

彩蛋：一個提高自己數學寫作和思考的方式是學會恰當的使用隱含符號 =》3，試試逆？語句A=&>B是數學的核心，我們可以表述為如果A是真的，那麼B就是真的；A=&>B的逆就是B=&>A，例如：」如果我是丘吉爾，那我是英國人」的逆是」如果我是英國人，那麼我是丘吉爾」；這個簡單的例子說明瞭，即便是一個語句是真的，那麼其逆可能非真；可能真也可能非真，說之前要搞清楚；一個好的數學家，當提出一個A隱含B的語句時，通常會思考」其逆為真麼？」，把這個問題印到腦子裡，作為你和數學打交道的工具；然後，其逆是否為真並不是很重要，關鍵是磨練數學的能力；說個題外話，通常人們會犯一個大錯誤，就是當A=&>B時，認為如果A非真的，那麼B也非真的；這是不對的，這個語句只是在說當A為真是會發生什麼，並沒有說A非真時的情況。現在可以像一個數學家一樣思考一下，給一個例子。4，試著互逆一條語句』A =&> B』 的互逆是 『not B =&> not A』；例如：1）『如果我是丘吉爾，那麼我就是英國人』的互逆就是『如果我不是英國人，那麼我就不是丘吉爾』2） 『如果我不是美國人，那麼我就不是德克薩斯人』的互逆就是『如果我是德克薩斯人，那麼我就是美國人』3） 『x^2 – 4x – 5 = 0 =&> x &>= -2』的互逆就是『x& x^2-4x-5 != 0』

A=&>B的互逆命題和自身的真假驚奇的一致！也就是說，如果A=&>B是真的，那麼not A =&> not B就是真的，反之亦然。可以驗證一下上面的例子。一開始可能很難在腦子裡形成固有概念 – 其實大多數人都不相信；有一個著名的關於互逆的教育實驗，叫做Wason的選擇任務。可以看一看你是否能通過測試，只有不到10%的人通過了；

由於互逆經常用做證明，並且日常推理也經常搞錯，所以你應該掌握。5，考慮極端情況面對一個命題，要在少量極端的假設情況下看看；如果需要的參數為0或者1會怎樣？如果把需要的函數定義為f(x)=0會怎樣？數據集為空呢？如果需要的序列為1，1，1，1。。。呢？直線或者圓會有什麼結果？這些例子可以幫我們更深刻的理解，意味著命題可以應用的場景；考慮一個極端的例子『如果Y=X^2，Z=Y^2，所以Z != X^2』。貌似Y和Y^2一般場景下是真的，但其實不然，比如Y=1，當X=1的條件下；用一個極端的例子說明下列原理是錯誤的：原理：假設a,b,c,d是正整數，如果ab=cd，a=c，那麼b=d；想給出好的極端例子需要積累，因此需要平時注意收集，用到的時候信手捏來，有一個訓練方法，想像你正在酣睡，突然大半夜有人把你搖醒說：快！給我一個X的好例子，快！X可以是羣組、向量、函數等數學對象。6，構造自己的例子真正的數學家創造自己的例子，不管是標準例子，極端例子還是非實例！讓我們看看工作示例（例如過程、演算法等）。

考慮到極大值和極小值在微積分中的標準。我們首先定義如何區別一個函數。然後將奇點定義為導數為零的點。其次，我們告訴我們奇點有3種類型：極大值、極小值和拐點。然後顯示函數的二階導數決定類型。在這些例子之後：這裡有一個函數，這裡是奇點的位置，這是奇點的類型。

學會方法後可以使用函數找到奇點類型，但如果我反過來問你，能否創建一個變數為x的函數f，函數的最大值和最小值分別為x=2和x=-6，這將是一個更加困難的考驗。但在嘗試這樣做時，你可以學到很多數學知識。因此，拿到計算方法後，您應該將其反轉以創建新的問題。此外，如果你和你的朋友一起製造這些問題，那麼你可以交換他們（交換的是問題，而不是朋友），並從中得到更多的實踐。你也可以設置一個競賽：看看誰能設置最難但還在解決範圍內的問題。7，假設用在哪裡學生們常對我說他們很難理解證明，這是正常的。因為證明的重點在於邏輯性和推導性，而不是提供洞察定理的陳述或它的證明是如何被發現的。普通學生在解題時面臨的問題往往是「不知從何處入手」。因此，理解證明是學習成為數學家最困難的部分之一。《像數學家一樣思考》第18章的全部內容都是用各種方法來理解證明的，例如，把它分解成部分，把證據應用於一個例子。我們只考慮下面的技巧。每個定理都有假設。例如，畢達哥拉斯定理假設我們有一個直角三角形。這些假設是證明的必要條件或背景。因此，可以從假設入手，積極尋找公式定理的應用方向，你將開始瞭解數學證明。有些假設可能是隱藏的。例如，證明中往往會有「根據定理5.7，我們可以看到……」的字樣，這說明定理5.7是我們需要的假設之一。（順便說一下，如果一個定理在不同的證據中一次又一次地被使用，它一定是非常重要的，並且有潛力被用在你的證明中，所以要學好它。）通過尋找假設，你將開始數學證明之旅，並將清晰地看到它是推導的過程以及構造，作為無償的獎勵，你也會加深對證明的理解。8，從複雜的一面開始

從複雜的一面開始，這是我能夠給出的，證明等式成立的最高祕訣。從更複雜的部分入手，通過替換來降低表達式另一端的難度。

9，問「如果有……那麼會怎樣」好的數學家喜歡問：「假如我放棄這個假設會發生什麼？通過思考這個問題，我們可以更好地理解為什麼一個結果是正確的，或者為什麼定義是這樣的。有時我們可以通過弱化假設來創造一個新的定理！10，交流！作者：天津谷志強鏈接：https://www.jianshu.com/p/674ac9ec3365來源：簡書著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

---

「把不同的想法比作是不同的撞球，讓他們不停的碰撞。絕大多數的碰撞都產生了無用的新想法，但是隻要碰撞足夠多次，就能產生出正確有用的新想法。

這些想法的碰撞絕大多數都發生在潛意識中，而不是在表意識中。

只有很少數的碰撞結果會浮現到表意識中。這個時候就需要花時間坐下來去驗證這些浮現到表意識中的想法是否是正確的。

即使如此，不同的想法碰撞的組合方式可以說是無窮盡的，而人的精力是有限的。那麼人該如何引導自己的大腦中不同想法的碰撞儘可能的正確有用呢？靠對數學的「美」的理解。一旦你學會欣賞數學的美了，那麼不同想法的碰撞就會更快，更有可能是正確的。「

以上是龐加萊的看法。

龐加萊的Science and method和Hadamard的An essay on the psychology of invention in the mathematical field中都很好的描述了這兩位數學巨人認為數學領域中的數學家們是如何創造的的過程。對於做數學（或者說對做科研的）的朋友們而言這兩本書會是重要的財富。

給不懂數學的朋友們科普一下，龐加萊Henri Poincare是法國19世紀20世紀前期最傑出的數學家（很多人說不用加之一）。Jacques Solomon Hadamard也是著名的數學家。

---

我完全贊同龐加萊的看法。思考數學問題對於數學家們是一件比較「玄」的事情：思考的過程至少有一大半發生在潛意識中，而人對潛意識裡發生的事知之甚少。數學家們想出新的想法經常是在諸如剛起牀，出門散步，之類的時刻，而不是在書桌前苦思冥想的時刻。

既然思考數學問題的方式這麼「玄」，那麼我們該如何培養自己思考數學問題的能力呢？我們怎麼該如何向poincare這樣的大數學家努力呢？對於每個有志於從事數學的青年，這是一個嚴肅，核心的問題。每個青年都會有自己的獨特的答案。

---

當然還存在一種可能，題主可能是想問初高中階段的「數學大牛們」如何輕鬆考高分的。

我初中數學成績挺好的，屬於一張數學卷子人家90分鐘做完我40分鐘交卷接近滿分這種。我的認為在初高中成功的最關鍵的因素在於專註。你是否擁有把你的注意力專註在刷卷子上面的能力。

如果你認為你成績差是因為每天學習時間不夠，那很簡單，把手機去砸了電腦砸了然後花時間多學習去。

如果你認為你每天已經學了很久了，但還是成績上不去，那麼問問自己，自己學習的時候腦子裡都是些啥？蕭炎大戰宇智波斑？甄嬛宮鬥？瑪麗蘇小說情節？真的在學習嗎？

最後，你需要一個理由。一個為什麼要讓自己受苦而使得自己變得更好，更專註的理由。

---

數學大牛怎麼思考數學問題我不知道，但高考數學題怎麼快而準的找到思路倒是有我自己一些見解。答案就是好好運用二級結論，建議需要高考的同學看看我的回答。

作為當時高中我們班背二級結論背的最多的人，我真的是深有體會。下面就容我談談我和「二級結論」的愛恨情仇。

首先，關於二級結論應不應該背的問題，這個沒得談，必須背，不揹你怎麼做得完題，考場現推嗎？除非你是古今無雙獨步一時才華橫溢的數理化天才，否則別想。還有如果你在考場上碰到那種背過二級結論的，又喜歡把卷子翻的很響的那種人（對，就是我）

你就會這樣……

別人二十五分鐘做完選填，你要五十分鐘（當然這不完全是背不背二級結論的問題），你說你怎麼可能考得過。我這裡只想說明一個問題，數理化解題速度的基礎是建立在二級結論之上的。書山有路，二級結論即為捷徑，你若不登，他人捷足先登，那就是步步落後。況且，現在理綜和數學題量偏大，在有限時間裡只靠一級結論解題幾乎已是不可能。所以，我明確地答覆，二級結論必須背！！！

我真正想談的其實是背什麼，怎麼背的問題。至於為啥想說這個，唉

這麼說吧，高三時段，我用二級結論秒殺的壓軸題和我因為二級結論錯的題一樣多。為什麼會這樣呢？我認為是太多，太雜，不精，不準。確實，我背了相當多的一部分二級結論。這就導致了幾個問題。第一，背得不準確，我背的一些二級結論很偏，很少用，久了不用就容易記錯，然後考試時以為自己賺到了，實則考下來捶胸頓足。第二，做題時思緒紛飛，總想套二級結論，最後浪費了時間，還一無所獲。

所以說我對背什麼二級結論的問題，我的建議是抓住核心二級結論，對於較偏的二級結論，切忌死記硬背。千萬不要說什麼多多益善的話，因為你不會成為韓信，你只會步我的後塵。還有一個重要原因，且聽我為你細細道來。近幾年，以「偏難怪」著稱的地方卷（什麼四川卷湖南卷江西卷，沒幾百個二級結論還真拿不下來）已經退出了歷史舞臺，命題大權又回到了全國卷的手裡。全國卷要求什麼，要求「核心素養」，要求「回歸課本」，這就意味著，這裡面的所有考題已經不會與較偏的二級結論直接掛鉤，它只會有一部分形似或相關，但更多的，是它會以一個較偏的二級結論作為依託或背景，讓你去解題，如

（第一問阿基米德三角形）這實則就是證明二級結論的過程，這種情況真的是在全國卷屢見不鮮，而這時，你知不知道結論意義已然不大。所以，背好背準核心二級結論已然夠用，對於較偏的，我的建議是，證明一次就行，能背與否，隨緣便好。至於什麼是核心二級結論呢，請關注我們可愛的悅超老師。

至於如何背二級結論，我強調兩點：

1.切忌死記硬背，會證即會背。建議在筆記本上記錄二級結論時把證明過程一併寫在本子上。如

我是先寫題設，在黑筆證明，最後紅筆寫結論，是不是一目瞭然？這樣記好處多多，首先，強化你的記憶，讓你背得準確，牢靠。其次，退一萬步說，你考試是忘了結論，也能憑記憶很快推出來（我經常這樣，很快的）。Last but not least，很多壓軸題的關鍵步驟你會在二級結論的證明中找到靈感，這一點還需要你自己體會，反正我已是深有體會，因此做出了不少壓軸題。

2.第一點， 背二級結論一定要背清楚適用條件!!!!!!!!至於為什麼，別問，問就是一個更悲傷的故事。

以上便是我對二級結論的一些看法，希望對題主有用。

同學們有任何學習問題可以來私信，很樂意為同學們答疑解惑。

另外，還有很多總結的核心二級結論，需要的發送【資料】即可。

---

(觀點1)數學是一門獨立的語言.

1他既然是一門獨立的語言,那就一定與其他語言分開.

就像英國人在說英語,香港人在說粵語,北京人在說普通話一樣,數學是一門數學家說的語言.這就意味著,不管你中德國人,還是丹麥人,只要你是一個數學家,對於中國的學者表達的數學問題,他們都要能看得懂.如果你表達的數學思維其他國家或者其他學者不能清楚的看懂你的問題,那就是你自己表達的有問題.所以要向標準的數學語言看齊,盡量用數學符號,少用文字來表達自己的思想.

(觀點2) 數學是一門結構化語言.(或者說模塊化語言)

普通人都具有線性思維.比如你拿起一本書,從第一頁閱讀到最後一頁,這就是線性思維.

結構化思維:即把一個問題,看作一個拆分的模塊,模塊裡邊還有模塊.就類似於俄羅斯套娃一樣.

舉個例子:怎麼樣用結構化的思維生個娃呢?

1先生一個頭.

2再生一個身材.

3再生兩個胳膊.

4再生兩隻腿.

5把頭,身材,胳膊,腿,組裝起來.

6(如果你想讓你的娃會飛的話,你可以生個翅膀,也組裝起來) 7恭喜你,你有個會飛的娃娃啦.

你可以用這種方法,再生一匹馬,再把你的娃娃騎在馬上.(哈哈,恭喜你有個騎士了)

(觀點3) 數學是抽象的,你在思考的時候要具體化.理解其具體(實際)意義.

1什麼是具體意義呢?

比如說3.2-1.5 = 1.7

你不要把上面這個數字只看到一個等式,或者一個結果.假如你辛辛苦苦賺了3.2 (百萬元),你給爸媽給了1.5(百萬),你還剩下1.7(百萬)了,哈哈,恭喜你,你還是個富翁呢!對於錢這種事,咱一分錢也不願少.哼哼!

之所以要具體化,是因為數學本身就是一種抽象思維,如果你脫離上實際意義,他就變得很飄渺.就更加難以理解了.

(觀點4) 數學什麼時候能學完啊?

這個問題是相對的.籠統的講,數學是學不完的.因為世界是客觀的,人們為了精確的表達客觀世界,才發明瞭數學,客觀物質在運動,數學也就跟隨著永恆了.

但是又反過來說,數學是能學完的.

比如說,你參加高考,或者考研,就那麼一點東西,你學懂了,就夠了,不必探究更深.他既然能學完,你耐心一點,慢慢地,一點點的搞懂了,再做其他的,你那麼急,準備去幹嘛啊?(如果去約會的話,還不如約到家一塊學數學呢,日子嘛,今天跟昨天差不多的過^^)

換個角度講,數學是以解決問題為根本目標的,你的問題解決了,就夠了.

(觀點5 ) 享受在其中.

當你自已獨立的,解出一道題,或者因為你學習得到了你想要的東西(比如解決了一個實際問題,或者得了獎學金,或者考上了大學,或者得到你在意的人的一個欣賞的目光),當你樂在其中,你便會有更大的動力.

(觀點6) 用哲學和其他理學(或者其他學科的方法論去指導數學)

單純的數學很抽象,往往跟其他學科具體的問題聯繫在一起,比如說物理學,金融學,生物學,等等.當然你也可以用這些學科的世界觀推動數學發展.

當你對整個世界比較迷惑的時候,單獨的從量的角度無法推動數學本身學科發展的時候,建議學習讀一些哲學,理學,邏輯學,以及認知學的學科 ,對指導你的數學發展,很有意義 .

(觀點7)用自己的方式表達自己.

剛開始,我們都是學習,用別人的語言表達自己.所以感覺很難.(學習別人的東西,要按別人的思想思考問題,是一件很難受的事情)

但是當你學到一定程度,擁有你自己的思維方式的時候,便沒有那難了.

舉個栗子:

1讓你去學習牛頓,萊布尼茨的一些數學理論,你肯定不幹,(論誰誰不幹啊,我要回家給我女兒餵奶呢,我女兒餓著呢,哪有時間去學你那玩意兒啊?)牛頓-萊布尼茨,你們離我遠點,我忙呢!哼!(給他們甩個臉色.^^)

2但是當你逛超市的時候,看到一個長的不規則的但很可愛的番茄,你發神經的,想求他的表面積,想求番茄的體積,(一般人都不會有這種想法的,有點牽強,不然怎麼說發神經呢?)

3 然後你成天想,想的茶不思飯不入的....

4 想了前前後後半個月.....

5 恭喜你,你想出來了!!!(我把我過年沒喫完的糖給你喫,你教我你的方法可好?^^)(那就這樣過了....喫我給的糖好甜吧!^^)

6假如你沒想出來,你鬱鬱寡歡......

7突然有一天,晴天一個霹靂,你發現一本高等數學,你猶如發現了武林祕笈一樣,靜心修鍊半年.....

8哇! 你頓悟了,你得道了!

9 然後你就用牛頓的方式,算出了番茄的表面積和體積.....

10^^

11一句話:先自己想辦法,實在沒辦法,就用別人的辦法,再把別人的辦法變成自己的辦法 .....

(觀點8) 一定要有自己的節奏.

不管在哪個領域,所有有成功者都有一個祕決:有自己的節奏.

如果你是高中和大學,所有的進度都是跟老師的,這樣的話,肯定會打亂自己的節奏,但是,你要跟據老師的節奏合理安排你的節奏.這一點就不多說了.

---

推薦閱讀：